gdz.top
Номер 3.8, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский
Авторы: Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава I. Первообразная и интеграл. Параграф 3. Криволинейная трапеция и ее площадь - номер 3.8, страница 31.
№3.7
№3.8 (с. 31)
Условие. №3.8 (с. 31)
3.8. Если $0 < x < \frac{\pi}{6}$, то чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sin6x$ и $y = 0$?
Решение 2 (rus). №3.8 (с. 31)
Площадь фигуры, ограниченной кривой $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$), и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, где $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле:
$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$
В данном случае фигура ограничена линиями $y = \sin(6x)$ и $y=0$. Условие $0 < x < \frac{\pi}{6}$ задает пределы интегрирования: от $a=0$ до $b=\frac{\pi}{6}$.
Проверим, что на интервале $(0, \frac{\pi}{6})$ функция $y = \sin(6x)$ является неотрицательной. Если $x \in (0, \frac{\pi}{6})$, то аргумент синуса $6x$ находится в интервале $(0, \pi)$. На этом интервале синус принимает положительные значения, то есть $\sin(6x) > 0$. Следовательно, мы можем напрямую применить формулу для площади.
Вычислим определенный интеграл:
$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin(6x) \,dx$
Найдем первообразную для функции $\sin(6x)$. Используя правило интегрирования, получаем:
$\int \sin(6x) \,dx = -\frac{1}{6}\cos(6x) + C$
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$S = \left. -\frac{1}{6}\cos(6x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = \left(-\frac{1}{6}\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{1}{6}\cos(6 \cdot 0)\right)$
Подставим значения: $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(0) = 1$.
$S = \left(-\frac{1}{6} \cdot (-1)\right) - \left(-\frac{1}{6} \cdot 1\right) = \frac{1}{6} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Ответ: $\frac{1}{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 3.8 расположенного на странице 31 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №3.8 (с. 31), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.