Номер 3.12, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, прямой $x = a$ и осью Ox:

1) $f(x) = 4,5 - 0,5x^2$, $x_0 = 1$, $x = -2$;

2) $f(x) = 8 - 0,5x^2$, $x_0 = -2$, $x = 1$.

1)

Дано: функция $f(x) = 4,5 - 0,5x^2$, точка касания с абсциссой $x_0 = 1$ и прямая $x = a = -2$.

Площадь искомой фигуры ограничена касательной к графику функции, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=1$ и $x=a=-2$. Фигура представляет собой трапецию, у которой верхняя граница - это касательная, нижняя - ось Ox, а боковые стороны - прямые $x=-2$ и $x=1$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0=1$.

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Вычислим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 4,5 - 0,5 \cdot 1^2 = 4,5 - 0,5 = 4$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4,5 - 0,5x^2)' = -0,5 \cdot 2x = -x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -1$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 4 + (-1)(x - 1) = 4 - x + 1 = 5 - x$.

Уравнение касательной: $y = 5 - x$.

2. Вычислим площадь фигуры.

Фигура ограничена прямыми $y = 5 - x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$.На отрезке $[-2, 1]$ касательная $y = 5-x$ находится выше оси Ox (например, $y(-2)=7 > 0$ и $y(1)=4 > 0$), поэтому площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-2}^{1} (5 - x) \,dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ 5x - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left(5 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) - \left(5 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2}\right) = \left(5 - 0,5\right) - \left(-10 - \frac{4}{2}\right) = 4,5 - (-10 - 2) = 4,5 - (-12) = 4,5 + 12 = 16,5$.

Также, площадь данной фигуры можно найти по формуле площади трапеции. Основаниями трапеции являются отрезки вертикальных прямых $x=-2$ и $x=1$ от оси Ox до касательной. Высотой является расстояние между этими прямыми.

Длины оснований: $b_1 = y(-2) = 5 - (-2) = 7$; $b_2 = y(1) = 5 - 1 = 4$.

Высота: $h = 1 - (-2) = 3$.

Площадь трапеции: $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{7+4}{2} \cdot 3 = \frac{11}{2} \cdot 3 = 5,5 \cdot 3 = 16,5$.

Ответ: $16,5$.

2)

Дано: функция $f(x) = 8 - 0,5x^2$, точка касания с абсциссой $x_0 = -2$ и прямая $x = a = 1$.

Площадь искомой фигуры ограничена касательной к графику функции, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=-2$ и $x=a=1$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0=-2$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Вычислим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = 8 - 0,5 \cdot (-2)^2 = 8 - 0,5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8 - 0,5x^2)' = -0,5 \cdot 2x = -x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = -(-2) = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 6 + 2(x - (-2)) = 6 + 2(x + 2) = 6 + 2x + 4 = 2x + 10$.

Уравнение касательной: $y = 2x + 10$.

2. Вычислим площадь фигуры.

Фигура ограничена прямыми $y = 2x + 10$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$.На отрезке $[-2, 1]$ касательная $y = 2x+10$ находится выше оси Ox (например, $y(-2)=6 > 0$ и $y(1)=12 > 0$), поэтому площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-2}^{1} (2x + 10) \,dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ x^2 + 10x \right]_{-2}^{1} = (1^2 + 10 \cdot 1) - ((-2)^2 + 10 \cdot (-2)) = (1 + 10) - (4 - 20) = 11 - (-16) = 11 + 16 = 27$.

Также, площадь данной фигуры можно найти по формуле площади трапеции.

Длины оснований: $b_1 = y(-2) = 2(-2) + 10 = 6$; $b_2 = y(1) = 2(1) + 10 = 12$.

Высота: $h = 1 - (-2) = 3$.

Площадь трапеции: $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{6+12}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.

Ответ: $27$.