Страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3.12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, прямой $x = a$ и осью Ox:

1) $f(x) = 4,5 - 0,5x^2$, $x_0 = 1$, $x = -2$;

2) $f(x) = 8 - 0,5x^2$, $x_0 = -2$, $x = 1$.

1)

Дано: функция $f(x) = 4,5 - 0,5x^2$, точка касания с абсциссой $x_0 = 1$ и прямая $x = a = -2$.

Площадь искомой фигуры ограничена касательной к графику функции, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=1$ и $x=a=-2$. Фигура представляет собой трапецию, у которой верхняя граница - это касательная, нижняя - ось Ox, а боковые стороны - прямые $x=-2$ и $x=1$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0=1$.

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Вычислим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(1) = 4,5 - 0,5 \cdot 1^2 = 4,5 - 0,5 = 4$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (4,5 - 0,5x^2)' = -0,5 \cdot 2x = -x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(1) = -1$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 4 + (-1)(x - 1) = 4 - x + 1 = 5 - x$.

Уравнение касательной: $y = 5 - x$.

2. Вычислим площадь фигуры.

Фигура ограничена прямыми $y = 5 - x$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$.На отрезке $[-2, 1]$ касательная $y = 5-x$ находится выше оси Ox (например, $y(-2)=7 > 0$ и $y(1)=4 > 0$), поэтому площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-2}^{1} (5 - x) \,dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ 5x - \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left(5 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) - \left(5 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2}\right) = \left(5 - 0,5\right) - \left(-10 - \frac{4}{2}\right) = 4,5 - (-10 - 2) = 4,5 - (-12) = 4,5 + 12 = 16,5$.

Также, площадь данной фигуры можно найти по формуле площади трапеции. Основаниями трапеции являются отрезки вертикальных прямых $x=-2$ и $x=1$ от оси Ox до касательной. Высотой является расстояние между этими прямыми.

Длины оснований: $b_1 = y(-2) = 5 - (-2) = 7$; $b_2 = y(1) = 5 - 1 = 4$.

Высота: $h = 1 - (-2) = 3$.

Площадь трапеции: $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{7+4}{2} \cdot 3 = \frac{11}{2} \cdot 3 = 5,5 \cdot 3 = 16,5$.

Ответ: $16,5$.

2)

Дано: функция $f(x) = 8 - 0,5x^2$, точка касания с абсциссой $x_0 = -2$ и прямая $x = a = 1$.

Площадь искомой фигуры ограничена касательной к графику функции, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_0=-2$ и $x=a=1$.

1. Найдем уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0=-2$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Вычислим значение функции в точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-2) = 8 - 0,5 \cdot (-2)^2 = 8 - 0,5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8 - 0,5x^2)' = -0,5 \cdot 2x = -x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0$:

$f'(x_0) = f'(-2) = -(-2) = 2$.

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 6 + 2(x - (-2)) = 6 + 2(x + 2) = 6 + 2x + 4 = 2x + 10$.

Уравнение касательной: $y = 2x + 10$.

2. Вычислим площадь фигуры.

Фигура ограничена прямыми $y = 2x + 10$, $y = 0$ (ось Ox), $x = -2$ и $x = 1$.На отрезке $[-2, 1]$ касательная $y = 2x+10$ находится выше оси Ox (например, $y(-2)=6 > 0$ и $y(1)=12 > 0$), поэтому площадь можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-2}^{1} (2x + 10) \,dx$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[ x^2 + 10x \right]_{-2}^{1} = (1^2 + 10 \cdot 1) - ((-2)^2 + 10 \cdot (-2)) = (1 + 10) - (4 - 20) = 11 - (-16) = 11 + 16 = 27$.

Также, площадь данной фигуры можно найти по формуле площади трапеции.

Длины оснований: $b_1 = y(-2) = 2(-2) + 10 = 6$; $b_2 = y(1) = 2(1) + 10 = 12$.

Высота: $h = 1 - (-2) = 3$.

Площадь трапеции: $S = \frac{b_1+b_2}{2} \cdot h = \frac{6+12}{2} \cdot 3 = \frac{18}{2} \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.

Ответ: $27$.

3.13. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y^2 = x, x = 1, x = 4, y = 0, y < 0;$

2) $y^2 = x, x = 0, x = 3, y = 0, y > 0;$

3) $y = 2\sqrt{x}, y = -\sqrt{x}, x = 9.$

1)

Фигура ограничена линиями $y^2=x$, $x=1$, $x=4$ и $y=0$. Условие $y<0$ означает, что мы рассматриваем ту часть фигуры, которая находится ниже оси абсцисс. Из уравнения $y^2=x$ при $y<0$ получаем $y = -\sqrt{x}$.

Площадь фигуры представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью $Ox$ ($y=0$), снизу кривой $y=-\sqrt{x}$, и по бокам прямыми $x=1$ и $x=4$. Площадь такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

В данном случае $y_{верх} = 0$, $y_{нижн} = -\sqrt{x}$, $a=1$, $b=4$.

$S = \int_1^4 (0 - (-\sqrt{x})) dx = \int_1^4 \sqrt{x} dx = \int_1^4 x^{1/2} dx$

Найдем первообразную для $f(x) = x^{1/2}$: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_1^4 = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - \frac{2}{3}(1) = \frac{2}{3}(2^3) - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$.

Ответ: $\frac{14}{3}$.

2)

Фигура ограничена линиями $y^2=x$, $x=0$, $x=3$ и $y=0$. Условие $y>0$ означает, что мы рассматриваем ту часть фигуры, которая находится выше оси абсцисс. Из уравнения $y^2=x$ при $y>0$ получаем $y = \sqrt{x}$.

Площадь фигуры является площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой $y=\sqrt{x}$, снизу осью $Ox$ ($y=0$), и по бокам прямыми $x=0$ и $x=3$. Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_0^3 \sqrt{x} dx = \int_0^3 x^{1/2} dx$.

Используем первообразную, найденную в предыдущем пункте: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^3 = \frac{2}{3}(3^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) - 0 = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $2\sqrt{3}$.

3)

Фигура ограничена кривыми $y=2\sqrt{x}$, $y=-\sqrt{x}$ и прямой $x=9$.

Для нахождения пределов интегрирования найдем точки пересечения кривых $y=2\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$:

$2\sqrt{x} = -\sqrt{x} \implies 3\sqrt{x} = 0 \implies x=0$.

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=0$ (осью $Oy$) и справа прямой $x=9$. На всем интервале $[0, 9]$ график функции $y_{верх} = 2\sqrt{x}$ лежит выше графика функции $y_{нижн} = -\sqrt{x}$.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

$S = \int_0^9 (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) dx = \int_0^9 (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) dx = \int_0^9 3\sqrt{x} dx = 3 \int_0^9 x^{1/2} dx$.

Вычислим интеграл:

$S = 3 \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^9 = \left[ 2x^{3/2} \right]_0^9 = 2(9^{3/2}) - 2(0^{3/2}) = 2(\sqrt{9})^3 - 0 = 2(3^3) = 2 \cdot 27 = 54$.

Ответ: $54$.

3.14. 1) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к нему в точке с абсциссой $x = 1$ и осью $Oy$.

2) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точке $x = 1$ и $x = 0$.

1)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к этому графику в точке с абсциссой $x = 1$ и осью ординат ($Oy$).

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 1$.

1. Найдем координаты точки касания:

Абсцисса: $x_0 = 1$.

Ордината: $y_0 = f(x_0) = 1^3 = 1$.

Точка касания: $(1, 1)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке касания):

$k = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

4. Запишем уравнение касательной, используя формулу $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$y - 1 = 3(x - 1)$

$y - 1 = 3x - 3$

$y = 3x - 2$.

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^3$, $y = 3x - 2$ и осью $Oy$ (то есть линией $x=0$). Фигура ограничена слева прямой $x=0$ и справа абсциссой точки касания $x=1$. В интервале $[0, 1]$ график функции $y = x^3$ находится выше касательной $y = 3x - 2$.

Площадь $S$ можно вычислить с помощью определенного интеграла как разность площадей под графиками верхней и нижней функций в пределах от $x=0$ до $x=1$:

$S = \int_{0}^{1} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) = x^3$ и $g(x) = 3x - 2$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{1} (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_{0}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$

Найдем первообразную:

$\int (x^3 - 3x + 2) dx = \frac{x^4}{4} - 3\frac{x^2}{2} + 2x + C$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0\right)$

$S = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - 0 = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2)

Задача состоит в нахождении площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точках с абсциссами $x = 1$ и $x = 0$.

Сначала найдем уравнения обеих касательных.

1. Касательная в точке $x = 1$:

Из предыдущего пункта мы знаем, что уравнение этой касательной: $y = 3x - 2$.

2. Касательная в точке $x = 0$:

Абсцисса: $x_0 = 0$.

Ордината: $y_0 = f(0) = 0^3 = 0$.

Производная: $f'(x) = 3x^2$.

Угловой коэффициент: $k = f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$.

Уравнение касательной: $y - 0 = 0(x - 0)$, что дает $y = 0$ (ось $Ox$).

Фигура ограничена тремя кривыми: $y=x^3$, $y=3x-2$ и $y=0$. Чтобы найти площадь, нужно определить, как эти линии ограничивают область. Найдем точку пересечения двух касательных:

$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$.

Это означает, что нижняя граница фигуры состоит из двух отрезков прямых: $y=0$ на интервале $x \in [0, 2/3]$ и $y=3x-2$ на интервале $x \in [2/3, 1]$. Верхней границей является кривая $y=x^3$.

Площадь $S$ нужно вычислять как сумму двух интегралов:

$S_1$ на интервале $[0, 2/3]$: ограничена сверху $y=x^3$ и снизу $y=0$.

$S_1 = \int_{0}^{2/3} (x^3 - 0) dx = \int_{0}^{2/3} x^3 dx$.

$S_2$ на интервале $[2/3, 1]$: ограничена сверху $y=x^3$ и снизу $y=3x-2$.

$S_2 = \int_{2/3}^{1} (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_{2/3}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$.

Вычислим $S_1$:

$S_1 = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2/3} = \frac{(2/3)^4}{4} - 0 = \frac{16/81}{4} = \frac{4}{81}$.

Вычислим $S_2$:

$S_2 = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{2/3}^{1} = \left(\frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(\frac{(2/3)^4}{4} - \frac{3 \cdot (2/3)^2}{2} + 2 \cdot \frac{2}{3}\right)$

$S_2 = \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - \left(\frac{16/81}{4} - \frac{3 \cdot 4/9}{2} + \frac{4}{3}\right)$

$S_2 = \left(\frac{1 - 6 + 8}{4}\right) - \left(\frac{4}{81} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right)$

$S_2 = \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} + \frac{2}{3}\right) = \frac{3}{4} - \left(\frac{4 + 54}{81}\right) = \frac{3}{4} - \frac{58}{81}$

$S_2 = \frac{3 \cdot 81 - 58 \cdot 4}{324} = \frac{243 - 232}{324} = \frac{11}{324}$.

Общая площадь $S = S_1 + S_2$:

$S = \frac{4}{81} + \frac{11}{324} = \frac{4 \cdot 4}{324} + \frac{11}{324} = \frac{16 + 11}{324} = \frac{27}{324}$.

Сократим дробь: $27 = 3^3$, $324 = 18^2 = (2 \cdot 3^2)^2 = 4 \cdot 3^4$.

$S = \frac{27}{324} = \frac{3^3}{4 \cdot 3^4} = \frac{1}{4 \cdot 3} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

3.15. Использование символа $\int$ предложил Готфрид Вильгельм Лейбниц. Термин “интеграл” ввел Иоганн Бернулли, а появился он в работах Якоба Бернулли. Символ $\int_a^b f(x)dx$ стал широко использоваться после работ французского математика и физика Жан-Батиста Жозефа Фурье.

Я. Бернулли

(1655–1705)

Ж. Фурье

(1768–1830)

Г.В Лейбниц

(1646–1716)

Использование символа $\int$

Согласно тексту, автором символа интеграла $ \int $ является немецкий математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716). Его портрет представлен на изображении справа. Символ $ \int $ происходит от длинной буквы S (лат. summa — сумма), так как Лейбниц рассматривал интеграл как бесконечную сумму бесконечно малых величин (инфинитезималей).

Ответ: Использование символа $ \int $ предложил Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Термин "интеграл"

В тексте указано, что термин «интеграл» был введен швейцарским математиком Иоганном Бернулли. При этом впервые в печати этот термин появился в работах его брата, Якоба Бернулли (1655–1705), чей портрет расположен слева. Таким образом, введение термина связано с деятельностью обоих братьев: Иоганн придумал слово, а Якоб способствовал его распространению через свои публикации.

Ответ: Термин «интеграл» ввел Иоганн Бернулли, а появился он в работах Якоба Бернулли.

Символ $\int_a^b f(x)dx$

Обозначение для определенного интеграла с указанием пределов интегрирования $a$ и $b$ — $ \int_a^b f(x)dx $ — получило широкое распространение благодаря трудам французского математика и физика Жан-Батиста Жозефа Фурье (1768–1830). Его портрет находится в центре. Фурье активно использовал данное обозначение при разработке своей теории теплопроводности и гармонического анализа (ряды Фурье), что и привело к его повсеместному принятию в науке.

Ответ: Символ $ \int_a^b f(x)dx $ стал широко использоваться после работ Жан-Батиста Жозефа Фурье.

3.16. На координатной плоскости постройте область, ограниченную графиками функций:

1) $y = x^2 - 2x$ и $y = x$;

2) $y = x + 1$ и $y = \sqrt{x+1}$.

1) $y = x^2 - 2x$ и $y = x$

Для построения области, ограниченной данными графиками, сначала проанализируем каждую функцию.

Функция $y = x^2 - 2x$ — это квадратичная функция, её график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).

Найдем вершину параболы. Координата $x$ вершины вычисляется по формуле $x_v = -b/(2a)$.

$x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 2 / 2 = 1$.

Координата $y$ вершины: $y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox (при $y=0$):

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Функция $y = x$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси Ox.

Теперь найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 2x$ и $y = x$. Для этого приравняем их правые части:

$x^2 - 2x = x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в уравнение прямой $y = x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.

При $x_2 = 3$, $y_2 = 3$. Точка пересечения $(3, 3)$.

Искомая область заключена между параболой и прямой. На интервале $x \in (0, 3)$ прямая $y=x$ находится выше параболы $y=x^2-2x$ (например, при $x=1$ имеем $y_{прямая}=1$, а $y_{парабола}=-1$).

Таким образом, область ограничена снизу графиком параболы $y = x^2 - 2x$ и сверху графиком прямой $y = x$ на отрезке $x \in [0, 3]$.

Ответ: Искомая область — это фигура, ограниченная снизу параболой $y = x^2 - 2x$ и сверху прямой $y = x$, концами которой являются точки их пересечения $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

2) $y = x + 1$ и $y = \sqrt{x + 1}$

Рассмотрим функции, ограничивающие область.

Функция $y = x + 1$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через точки $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.

Функция $y = \sqrt{x + 1}$ — это функция квадратного корня. Область определения: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы $x = y^2 - 1$, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(-1, 0)$ и проходит через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков, приравняв их правые части:

$x + 1 = \sqrt{x + 1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что $x+1 \ge 0$:

$(x + 1)^2 = x + 1$

$(x + 1)^2 - (x + 1) = 0$

$(x + 1)((x + 1) - 1) = 0$

$(x + 1)x = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Оба значения удовлетворяют условию $x+1 \ge 0$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из уравнений (например, $y=x+1$):

При $x_1 = -1$, $y_1 = -1 + 1 = 0$. Точка пересечения $(-1, 0)$.

При $x_2 = 0$, $y_2 = 0 + 1 = 1$. Точка пересечения $(0, 1)$.

Искомая область заключена между прямой и графиком корня. На интервале $x \in (-1, 0)$ график функции $y = \sqrt{x + 1}$ находится выше прямой $y = x + 1$. Например, при $x = -0.75$:

$y_{корень} = \sqrt{-0.75 + 1} = \sqrt{0.25} = 0.5$

$y_{прямая} = -0.75 + 1 = 0.25$

Так как $0.5 > 0.25$, график корня выше.

Таким образом, область ограничена снизу графиком прямой $y = x + 1$ и сверху графиком функции $y = \sqrt{x + 1}$ на отрезке $x \in [-1, 0]$.

Ответ: Искомая область — это фигура, ограниченная снизу прямой $y = x + 1$ и сверху кривой $y = \sqrt{x + 1}$, концами которой являются точки их пересечения $(-1, 0)$ и $(0, 1)$.