Страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Чем отличается криволинейная трапеция от трапеции, известной вам из курса геометрии?

2. Какие известные вам понятия были использованы при выводе формулы площади криволинейной трапеции?

3. Можно ли воспользоваться формулой площади криволинейной трапеции для вычисления площади трапеции, известной вам из курса геометрии?

1. Чем отличается криволинейная трапеция от трапеции, известной вам из курса геометрии?

Основное отличие заключается в форме их границ.

Трапеция, известная из курса геометрии, — это многоугольник, а именно четырехугольник, у которого две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) — нет. Важно, что все четыре стороны этой фигуры являются отрезками прямых.

Криволинейная трапеция, в свою очередь, является фигурой, ограниченной с трех сторон отрезками прямых, а с четвертой стороны — кривой линией. Как правило, это фигура на координатной плоскости, ограниченная осью абсцисс ($Ox$), двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$.

Таким образом, у геометрической трапеции все стороны прямолинейны, а у криволинейной трапеции одна из сторон — кривая.

Ответ: У трапеции из курса геометрии все четыре стороны являются отрезками прямых, в то время как у криволинейной трапеции одна из границ является кривой линией (графиком функции).

2. Какие известные вам понятия были использованы при выводе формулы площади криволинейной трапеции?

При выводе формулы площади криволинейной трапеции используется метод, основанный на идее интегрального исчисления. Этот метод включает в себя следующие ключевые понятия:

1. Разбиение отрезка и площадь прямоугольника: Криволинейную трапецию мысленно разбивают на большое количество очень узких полос. Каждую такую полосу аппроксимируют (приближенно заменяют) прямоугольником, площадь которого легко вычислить.

2. Интегральная сумма: Площади всех этих прямоугольников суммируются. Такая сумма называется интегральной суммой и является приближенным значением площади криволинейной трапеции.

3. Предел: Для получения точного значения площади совершают предельный переход: устремляют количество прямоугольников к бесконечности, а их ширину — к нулю. Предел последовательности интегральных сумм и дает точное значение площади.

4. Определенный интеграл: По определению, предел интегральных сумм называется определенным интегралом. Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$: $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

5. Первообразная и формула Ньютона-Лейбница: Для практического вычисления этого интеграла используется фундаментальная теорема анализа, а именно формула Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — это любая первообразная для функции $f(x)$.

Ответ: При выводе формулы были использованы понятия площади прямоугольника, суммы, предела, определенного интеграла и первообразной (формула Ньютона-Лейбница).

3. Можно ли воспользоваться формулой площади криволинейной трапеции для вычисления площади трапеции, известной вам из курса геометрии?

Да, можно. Обычная (прямоугольная) трапеция является частным случаем криволинейной трапеции.

Рассмотрим трапецию, у которой одно основание лежит на оси $Ox$ от $x=a$ до $x=b$, а боковые стороны являются отрезками прямых $x=a$ и $x=b$. В этом случае ее верхнее основание является отрезком прямой, который можно описать линейной функцией $y=f(x)=kx+c$.

Площадь такой фигуры можно вычислить по формуле для криволинейной трапеции: $S = \int_{a}^{b} (kx+c)dx$.

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $kx+c$ равна $k\frac{x^2}{2}+cx$.

$S = (k\frac{b^2}{2}+cb) - (k\frac{a^2}{2}+ca) = \frac{k}{2}(b^2-a^2) + c(b-a) = (b-a)(\frac{k(a+b)}{2}+c) = \frac{(ka+c)+(kb+c)}{2} \cdot (b-a)$.

Это выражение в точности совпадает с геометрической формулой площади трапеции $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$, где высота равна $(b-a)$, а длины параллельных оснований равны $f(a)=ka+c$ и $f(b)=kb+c$.

Таким образом, формула площади криволинейной трапеции является более общей и применима для вычисления площади обычной трапеции.

Ответ: Да, можно, так как обычная трапеция является частным случаем криволинейной трапеции, у которой верхняя граница задается линейной функцией.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (3.1–3.4):

3.1. 1) $y = x^2, x = 1, x = 2, y = 0;$

2) $y = x^2, y = 0, x = -1, x = 2;$

3) $y = 2x^2 - 1, y = 0, x = 1, x = 3;$

4) $y = 2x^2 + 1, y = 0, x = 2, x = 3.$

1)

Фигура ограничена параболой $y = x^2$, прямыми $x = 1$, $x = 2$ и осью абсцисс $y = 0$. Так как на отрезке $[1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна ($x^2 \ge 0$), площадь данной фигуры (криволинейной трапеции) можно вычислить с помощью определенного интеграла.

Площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_a^b f(x)dx$

В данном случае, $f(x) = x^2$, $a = 1$, $b = 2$.

Подставляем значения и вычисляем интеграл:

$S = \int_1^2 x^2 dx = \left. \frac{x^{2+1}}{2+1} \right|_1^2 = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$.

2)

Фигура ограничена параболой $y = x^2$, прямыми $x = -1$, $x = 2$ и осью абсцисс $y = 0$. На всем отрезке $[-1, 2]$ функция $y = x^2$ неотрицательна. Площадь вычисляется как определенный интеграл от функции $y = x^2$ в пределах от $-1$ до $2$.

$S = \int_{-1}^2 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: $3$.

3)

Фигура ограничена параболой $y = 2x^2 - 1$, прямыми $x = 1$, $x = 3$ и осью абсцисс $y = 0$. Проверим знак функции $y = 2x^2 - 1$ на отрезке $[1, 3]$. Точки пересечения с осью $y=0$: $2x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$. Обе точки не входят в отрезок $[1, 3]$. На данном отрезке функция $y = 2x^2 - 1$ положительна (например, при $x=1$, $y=2(1)^2 - 1 = 1 > 0$).

Следовательно, площадь фигуры можно вычислить как определенный интеграл:

$S = \int_1^3 (2x^2 - 1) dx = \left. \left(2\frac{x^3}{3} - x\right) \right|_1^3 = \left(2\frac{3^3}{3} - 3\right) - \left(2\frac{1^3}{3} - 1\right) = \left(2 \cdot 9 - 3\right) - \left(\frac{2}{3} - 1\right) = (18 - 3) - \left(-\frac{1}{3}\right) = 15 + \frac{1}{3} = \frac{45+1}{3} = \frac{46}{3}$

Ответ: $\frac{46}{3}$.

4)

Фигура ограничена параболой $y = 2x^2 + 1$, прямыми $x = 2$, $x = 3$ и осью абсцисс $y = 0$. Функция $y = 2x^2 + 1$ всегда положительна, так как $2x^2 \ge 0$, а значит $2x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, на отрезке $[2, 3]$ функция также положительна.

Вычисляем площадь с помощью определенного интеграла:

$S = \int_2^3 (2x^2 + 1) dx = \left. \left(2\frac{x^3}{3} + x\right) \right|_2^3 = \left(2\frac{3^3}{3} + 3\right) - \left(2\frac{2^3}{3} + 2\right) = \left(2 \cdot 9 + 3\right) - \left(2\frac{8}{3} + 2\right) = (18 + 3) - \left(\frac{16}{3} + \frac{6}{3}\right) = 21 - \frac{22}{3} = \frac{63-22}{3} = \frac{41}{3}$

Ответ: $\frac{41}{3}$.

3.2. 1) $y = x^2 - 2x + 3, y = 0, x = 1, x = 2;$

2) $y = x^2 - 2x + 8, y = 0, x = -1, x = 3;$

3) $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{3}, x = \frac{\pi}{3};$

4) $y = \sin x, y = 0, x = 0, x = \frac{\pi}{2}.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 3$, $y = 0$ (ось Ox), $x = 1$ и $x = 2$, необходимо вычислить определенный интеграл от функции $f(x) = x^2 - 2x + 3$ в пределах от 1 до 2. Сначала убедимся, что функция неотрицательна на данном отрезке. Функция $f(x) = x^2 - 2x + 3$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Координата x вершины параболы: $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$. Значение функции в вершине: $f(1) = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. Так как вершина является точкой минимума и значение в ней положительно, функция $f(x) > 0$ на всей числовой оси, включая отрезок $[1, 2]$. Таким образом, площадь $S$ равна: $S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx$. Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \int (x^2 - 2x + 3) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 3x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x$. Теперь по формуле Ньютона-Лейбница вычислим значение определенного интеграла: $S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{1}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} - 2^2 + 3 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 3 \cdot 1\right) = \left(\frac{8}{3} - 4 + 6\right) - \left(\frac{1}{3} - 1 + 3\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{3} - 2 = \frac{7}{3}$. Ответ: $\frac{7}{3}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 2x + 8$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 3$, необходимо вычислить определенный интеграл. Проверим знак функции $f(x) = x^2 - 2x + 8$ на отрезке $[-1, 3]$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_v = -(-2) / (2 \cdot 1) = 1$. Минимальное значение функции: $f(1) = 1^2 - 2(1) + 8 = 7$. Поскольку минимальное значение функции на отрезке $[-1, 3]$ положительно, то $f(x) > 0$ на всем отрезке. Площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{-1}^{3} (x^2 - 2x + 8) dx$. Найдем первообразную: $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x$. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 8x \right]_{-1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3^2 + 8 \cdot 3\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + 8 \cdot (-1)\right) = \left(\frac{27}{3} - 9 + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 8\right) = (9 - 9 + 24) - \left(-\frac{1}{3} - 9\right) = 24 - \left(-\frac{28}{3}\right) = 24 + \frac{28}{3} = \frac{72}{3} + \frac{28}{3} = \frac{100}{3}$. Ответ: $\frac{100}{3}$.

3) Фигура ограничена линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{\pi}{3}$. На отрезке $[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$ функция $f(x) = \cos x$ является неотрицательной ($ \cos x \ge 0 $), так как данный отрезок лежит внутри интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, где косинус положителен. Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \cos x \,dx$. Первообразная для $\cos x$ есть $\sin x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = [\sin x]_{-\pi/3}^{\pi/3} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$. Используя свойство нечетности синуса $\sin(-a) = -\sin(a)$, получаем: $S = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ (I координатная четверть) функция $f(x) = \sin x$ является неотрицательной ($ \sin x \ge 0 $). Площадь $S$ вычисляется как интеграл: $S = \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,dx$. Первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\right) - (-\cos(0))$. Зная, что $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ и $\cos(0) = 1$, получаем: $S = (-0) - (-1) = 1$. Ответ: $1$.