Страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции (4.3–4.4):

4.3. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} dx$;

2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{4} dx$;

3) $\int_0^1 \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} dx$;

4) $\int_3^5 \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} dx$.

1) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \frac{x}{2} dx$ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Получаем:

$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}$

Теперь подставим это выражение в интеграл:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции $(1 - \cos x)$. Первообразная равна $x - \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x - \sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}\right) - (0 - \sin 0) \right)$

Так как $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ и $\sin 0 = 0$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

2) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{4} dx$ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$, тогда $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$. Получаем:

$\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2}$

Подставим в интеграл:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos \frac{x}{2}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \cos \frac{x}{2}\right) dx$

Найдем первообразную для функции $1 + \cos \frac{x}{2}$. Первообразная равна $x + 2\sin \frac{x}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left[x + 2\sin \frac{x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + 2\sin\frac{\pi/2}{2}\right) - (0 + 2\sin 0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\sin\frac{\pi}{4} - 0 \right)$

Так как $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{2} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

3) Для вычисления интеграла $\int_0^1 \frac{x^3 + x^2 + x + 1}{x + 1} dx$ упростим подынтегральную функцию.

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)$

Теперь сократим дробь (это возможно, так как на отрезке $[0, 1]$ знаменатель $x+1$ не равен нулю):

$\frac{(x^2 + 1)(x + 1)}{x + 1} = x^2 + 1$

Интеграл принимает вид:

$\int_0^1 (x^2 + 1) dx$

Найдем первообразную для $x^2 + 1$. Она равна $\frac{x^3}{3} + x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

4) Для вычисления интеграла $\int_3^5 \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} dx$ упростим подынтегральную функцию.

Разложим числитель $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$ (по теореме Виета). Следовательно, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Сократим дробь (это возможно, так как на отрезке $[3, 5]$ знаменатель $x-2$ не равен нулю):

$\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = x - 3$

Интеграл принимает вид:

$\int_3^5 (x - 3) dx$

Найдем первообразную для $x - 3$. Она равна $\frac{x^2}{2} - 3x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_3^5 = \left(\frac{5^2}{2} - 3 \cdot 5\right) - \left(\frac{3^2}{2} - 3 \cdot 3\right) = \left(\frac{25}{2} - 15\right) - \left(\frac{9}{2} - 9\right)$

$\left(\frac{25}{2} - \frac{30}{2}\right) - \left(\frac{9}{2} - \frac{18}{2}\right) = -\frac{5}{2} - \left(-\frac{9}{2}\right) = -\frac{5}{2} + \frac{9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Ответ: $2$

4.4. 1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x)dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x)dx;$

3) $\int_{0.3}^{1.5} (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2})dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} (x - \frac{4}{x^2})dx.$

1) Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$. В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = 2x$.

Подынтегральное выражение $\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x$ равно $\cos(x + 2x) = \cos(3x)$.

Таким образом, интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \cos(3x) dx $

Первообразная для функции $\cos(3x)$ равна $\frac{1}{3}\sin(3x)$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{1}{3}\sin(3x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{18}} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{18}) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3}\sin(0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{6} $.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для решения этого интеграла применим тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.

Подынтегральное выражение $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x$ равно $\sin(x + 3x) = \sin(4x)$.

Интеграл преобразуется к виду:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx $

Первообразная для функции $\sin(4x)$ равна $-\frac{1}{4}\cos(4x)$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$ \left[ -\frac{1}{4}\cos(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{16})\right) - \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8} $.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{2}}{8}$.

3) Для вычисления интеграла найдем первообразную для подынтегральной функции $\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}$.

$ \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}) dx = \int (\frac{1}{2} + 3x^{-2}) dx = \frac{1}{2}x + 3\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{2}x - \frac{3}{x} + C $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0.3}^{1.5} (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}) dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{3}{x} \right]_{0.3}^{1.5} = (\frac{1}{2} \cdot 1.5 - \frac{3}{1.5}) - (\frac{1}{2} \cdot 0.3 - \frac{3}{0.3}) = (0.75 - 2) - (0.15 - 10) = -1.25 - (-9.85) = -1.25 + 9.85 = 8.6 $.

Ответ: $8.6$.

4) Найдем первообразную для подынтегральной функции $x - \frac{4}{x^2}$.

$ \int (x - \frac{4}{x^2}) dx = \int (x - 4x^{-2}) dx = \frac{x^2}{2} - 4\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x} + C $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$ \int_{-2}^{-1} (x - \frac{4}{x^2}) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x} \right]_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^2}{2} + \frac{4}{-1}\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + \frac{4}{-2}\right) = (\frac{1}{2} - 4) - (\frac{4}{2} - 2) = (-\frac{7}{2}) - (2 - 2) = -\frac{7}{2} - 0 = -\frac{7}{2} $.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.

Вычислите интегралы (4.5–4.7):

4.5.1)

$\int_0^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x}$;

2) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x}$;

3) $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin 3xdx$;

4) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos 4xdx$.

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(kx)}$ находится по формуле $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$.

В нашем случае $k=3$, поэтому первообразная для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 3x}$ равна $F(x) = \frac{1}{3}\tan(3x)$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{12}} \frac{dx}{\cos^2 3x} = \left. \frac{1}{3}\tan(3x) \right|_{0}^{\frac{\pi}{12}} = \frac{1}{3}\tan\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right) - \frac{1}{3}\tan(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{3}\tan(0) = \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x}$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(kx)}$ находится по формуле $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$.

В данном случае $k=2$, значит, первообразная для $f(x) = \frac{1}{\sin^2 2x}$ есть $F(x) = -\frac{1}{2}\cot(2x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{\sin^2 2x} = \left. -\frac{1}{2}\cot(2x) \right|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} = \left(-\frac{1}{2}\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{1}{2}\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) = -\frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x)dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \sin(kx)$ находится по формуле $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$.

Здесь $k=3$, поэтому первообразная для $f(x) = \sin(3x)$ равна $F(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x)$.

Используем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \sin(3x)dx = \left. -\frac{1}{3}\cos(3x) \right|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{12}\right)\right) - \left(-\frac{1}{3}\cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{18}\right)\right) = -\frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{6}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x)dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos(kx)$ находится по формуле $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$.

В этом примере $k=4$, следовательно, первообразная для $f(x) = \cos(4x)$ равна $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(4x)dx = \left. \frac{1}{4}\sin(4x) \right|_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right) = \frac{1}{4}\sin(\pi) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $-\frac{1}{4}$.

4.6. 1) $\int_{1}^{1.5} (1 - 2x)^3 dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x + 1)^3 dx;$

3) $\int_{-1}^{1} \frac{(2 - x)^3}{8} dx;$

4) $\int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{1.5} (1 - 2x)^3 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Подынтегральная функция $ f(x) = (1 - 2x)^3 $ является степенной функцией от линейного аргумента. Первообразную для функции вида $ (kx+b)^n $ можно найти по формуле $ \int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C $.

В нашем случае $ k = -2, b = 1, n = 3 $.

Найдем первообразную: $ F(x) = \frac{(1 - 2x)^{3+1}}{-2 \cdot (3+1)} = \frac{(1 - 2x)^4}{-2 \cdot 4} = -\frac{(1 - 2x)^4}{8} $.

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:

$ \int_{1}^{1.5} (1 - 2x)^3 dx = \left. -\frac{(1 - 2x)^4}{8} \right|_{1}^{1.5} = \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1.5)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1)^4}{8}\right) $

$ = \left(-\frac{(1 - 3)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{8}\right) = \left(-\frac{(-2)^4}{8}\right) + \frac{1^4}{8} $

$ = -\frac{16}{8} + \frac{1}{8} = -2 + \frac{1}{8} = -\frac{15}{8} $.

Ответ: $ -\frac{15}{8} $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x + 1)^3 dx $.

Аналогично предыдущему пункту, найдем первообразную для функции $ f(x) = (3x+1)^3 $. Здесь $ k=3, b=1, n=3 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(3x+1)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} = \frac{(3x+1)^4}{3 \cdot 4} = \frac{(3x+1)^4}{12} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x + 1)^3 dx = \left. \frac{(3x+1)^4}{12} \right|_{0}^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)^4}{12}\right) - \left(\frac{(3 \cdot 0 + 1)^4}{12}\right) $

$ = \frac{(1+1)^4}{12} - \frac{(0+1)^4}{12} = \frac{2^4}{12} - \frac{1^4}{12} $

$ = \frac{16}{12} - \frac{1}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $.

Ответ: $ \frac{5}{4} $.

3) Рассмотрим интеграл $ \int_{-1}^{1} \frac{(2 - x)^3}{8} dx $.

Вынесем константу $ \frac{1}{8} $ за знак интеграла: $ \frac{1}{8} \int_{-1}^{1} (2 - x)^3 dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = (2-x)^3 $. Здесь $ k=-1, b=2, n=3 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(2-x)^{3+1}}{-1 \cdot (3+1)} = \frac{(2-x)^4}{-4} = -\frac{(2-x)^4}{4} $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \frac{1}{8} \int_{-1}^{1} (2 - x)^3 dx = \frac{1}{8} \left. \left(-\frac{(2-x)^4}{4}\right) \right|_{-1}^{1} = -\frac{1}{32} \left. (2-x)^4 \right|_{-1}^{1} $

$ = -\frac{1}{32} \left( (2-1)^4 - (2-(-1))^4 \right) = -\frac{1}{32} \left( 1^4 - 3^4 \right) $

$ = -\frac{1}{32} (1 - 81) = -\frac{1}{32}(-80) = \frac{80}{32} = \frac{5}{2} $.

Ответ: $ \frac{5}{2} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx $.

Вынесем константу $ \frac{1}{7} $ за знак интеграла: $ \frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = (1-x)^4 $. Здесь $ k=-1, b=1, n=4 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(1-x)^{4+1}}{-1 \cdot (4+1)} = \frac{(1-x)^5}{-5} = -\frac{(1-x)^5}{5} $.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx = \frac{1}{7} \left. \left(-\frac{(1-x)^5}{5}\right) \right|_{-1}^{0} = -\frac{1}{35} \left. (1-x)^5 \right|_{-1}^{0} $

$ = -\frac{1}{35} \left( (1-0)^5 - (1-(-1))^5 \right) = -\frac{1}{35} \left( 1^5 - 2^5 \right) $

$ = -\frac{1}{35} (1 - 32) = -\frac{1}{35}(-31) = \frac{31}{35} $.

Ответ: $ \frac{31}{35} $.

4.7.1) $\int_1^4 \frac{5\sqrt{x}}{x} dx;$

2) $\int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx;$

3) $\int_1^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx;$

4) $\int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx.$

1) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx $.

Сначала упростим подынтегральное выражение, используя свойства степеней: $ \sqrt{x} = x^{1/2} $.

$ \frac{5\sqrt{x}}{x} = \frac{5x^{1/2}}{x^1} = 5x^{1/2 - 1} = 5x^{-1/2} $.

Теперь найдем первообразную для $ 5x^{-1/2} $. Используем формулу интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $.

$ \int 5x^{-1/2} dx = 5 \int x^{-1/2} dx = 5 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 10x^{1/2} + C = 10\sqrt{x} + C $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

$ \int_{1}^{4} 5x^{-1/2} dx = [10\sqrt{x}]_{1}^{4} = 10\sqrt{4} - 10\sqrt{1} = 10 \cdot 2 - 10 \cdot 1 = 20 - 10 = 10 $.

Ответ: $ 10 $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx $.

Перепишем подынтегральное выражение в виде $ (1-x)^{-1/2} $.

Для нахождения первообразной используем метод замены переменной. Пусть $ t = 1-x $, тогда $ dt = (1-x)' dx = -dx $, откуда $ dx = -dt $.

$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}} (-dt) = -\int t^{-1/2} dt = - \frac{t^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = - \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -2\sqrt{t} + C = -2\sqrt{1-x} + C $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-8}^{-3} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = [-2\sqrt{1-x}]_{-8}^{-3} = (-2\sqrt{1-(-3)}) - (-2\sqrt{1-(-8)}) = (-2\sqrt{1+3}) - (-2\sqrt{1+8}) $.

$ = (-2\sqrt{4}) - (-2\sqrt{9}) = (-2 \cdot 2) - (-2 \cdot 3) = -4 - (-6) = -4 + 6 = 2 $.

Ответ: $ 2 $.

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx $.

Перепишем подынтегральное выражение в виде $ (x+5)^{-1/2} $.

Найдем первообразную. Сделаем замену $ t = x+5 $, тогда $ dt = (x+5)' dx = dx $.

$ \int (x+5)^{-1/2} dx = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{x+5} + C $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{11} \frac{1}{\sqrt{x+5}} dx = [2\sqrt{x+5}]_{1}^{11} = 2\sqrt{11+5} - 2\sqrt{1+5} = 2\sqrt{16} - 2\sqrt{6} $.

$ = 2 \cdot 4 - 2\sqrt{6} = 8 - 2\sqrt{6} $.

Ответ: $ 8 - 2\sqrt{6} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx $.

Вынесем константу 4 за знак интеграла и перепишем подынтегральное выражение в степенном виде: $ 4 \int_{14}^{47} (x+2)^{-1/2} dx $.

Найдем первообразную для $ (x+2)^{-1/2} $. Сделаем замену $ t = x+2 $, тогда $ dt = dx $.

$ \int (x+2)^{-1/2} dx = \int t^{-1/2} dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{x+2} + C $.

Тогда первообразная для исходного выражения $ \frac{4}{\sqrt{x+2}} $ равна $ 4 \cdot 2\sqrt{x+2} = 8\sqrt{x+2} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{14}^{47} \frac{4}{\sqrt{x+2}} dx = [8\sqrt{x+2}]_{14}^{47} = 8\sqrt{47+2} - 8\sqrt{14+2} = 8\sqrt{49} - 8\sqrt{16} $.

$ = 8 \cdot 7 - 8 \cdot 4 = 56 - 32 = 24 $.

Ответ: $ 24 $.

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции (4.8—4.9):

4.8. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - 2\cos^2x)dx;$

2) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (2\sin2x - 1)dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \operatorname{tg}x \operatorname{ctg}x)dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{tg}\frac{x}{5} \operatorname{ctg}\frac{x}{5} - \cos x)dx.$

4.8. 1) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - 2\cos^2x)dx$ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$. Отсюда следует, что $1 - 2\cos^2x = -(2\cos^2x - 1) = -\cos(2x)$.

Интеграл принимает вид:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x))dx = [-\frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[-\frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = (-\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})) - (-\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - (-\frac{1}{2}\sin(0)) = -\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (2\sin(2x) - 1)dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:

$\int (2\sin(2x) - 1)dx = 2 \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) - x = -\cos(2x) - x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[-\cos(2x) - x]_0^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}) - (-\cos(2 \cdot 0) - 0) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} - (-\cos(0))$.

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$-(-\frac{1}{2}) - \frac{\pi}{3} - (-1) = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3} + 1 = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{2} - \frac{\pi}{3}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \tan x \cot x)dx$ преобразуем подынтегральную функцию. Так как $\tan x \cot x = 1$ для всех $x$ в области определения, а на интервале $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$ обе функции определены, то подынтегральная функция равна $\sin x + 1$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + 1)dx = [-\cos x + x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$(-\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\tan \frac{x}{5} \cot \frac{x}{5} - \cos x)dx$ преобразуем подынтегральную функцию. Произведение $\tan \frac{x}{5} \cot \frac{x}{5} = 1$ на интервале интегрирования $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$, так как аргумент $\frac{x}{5}$ находится в интервале $[\frac{\pi}{15}, \frac{\pi}{10}]$, где тангенс и котангенс определены. Таким образом, подынтегральная функция равна $1 - \cos x$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x)dx = [x - \sin x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$(\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})) - (\frac{\pi}{3} - \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{\pi}{2} - 1) - (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2} - 1 - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$