Номер 4.6, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.6. 1) $\int_{1}^{1.5} (1 - 2x)^3 dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x + 1)^3 dx;$

3) $\int_{-1}^{1} \frac{(2 - x)^3}{8} dx;$

4) $\int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{1.5} (1 - 2x)^3 dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Подынтегральная функция $ f(x) = (1 - 2x)^3 $ является степенной функцией от линейного аргумента. Первообразную для функции вида $ (kx+b)^n $ можно найти по формуле $ \int (kx+b)^n dx = \frac{(kx+b)^{n+1}}{k(n+1)} + C $.

В нашем случае $ k = -2, b = 1, n = 3 $.

Найдем первообразную: $ F(x) = \frac{(1 - 2x)^{3+1}}{-2 \cdot (3+1)} = \frac{(1 - 2x)^4}{-2 \cdot 4} = -\frac{(1 - 2x)^4}{8} $.

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:

$ \int_{1}^{1.5} (1 - 2x)^3 dx = \left. -\frac{(1 - 2x)^4}{8} \right|_{1}^{1.5} = \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1.5)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(1 - 2 \cdot 1)^4}{8}\right) $

$ = \left(-\frac{(1 - 3)^4}{8}\right) - \left(-\frac{(-1)^4}{8}\right) = \left(-\frac{(-2)^4}{8}\right) + \frac{1^4}{8} $

$ = -\frac{16}{8} + \frac{1}{8} = -2 + \frac{1}{8} = -\frac{15}{8} $.

Ответ: $ -\frac{15}{8} $.

2) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x + 1)^3 dx $.

Аналогично предыдущему пункту, найдем первообразную для функции $ f(x) = (3x+1)^3 $. Здесь $ k=3, b=1, n=3 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(3x+1)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} = \frac{(3x+1)^4}{3 \cdot 4} = \frac{(3x+1)^4}{12} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x + 1)^3 dx = \left. \frac{(3x+1)^4}{12} \right|_{0}^{\frac{1}{3}} = \left(\frac{(3 \cdot \frac{1}{3} + 1)^4}{12}\right) - \left(\frac{(3 \cdot 0 + 1)^4}{12}\right) $

$ = \frac{(1+1)^4}{12} - \frac{(0+1)^4}{12} = \frac{2^4}{12} - \frac{1^4}{12} $

$ = \frac{16}{12} - \frac{1}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} $.

Ответ: $ \frac{5}{4} $.

3) Рассмотрим интеграл $ \int_{-1}^{1} \frac{(2 - x)^3}{8} dx $.

Вынесем константу $ \frac{1}{8} $ за знак интеграла: $ \frac{1}{8} \int_{-1}^{1} (2 - x)^3 dx $.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = (2-x)^3 $. Здесь $ k=-1, b=2, n=3 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(2-x)^{3+1}}{-1 \cdot (3+1)} = \frac{(2-x)^4}{-4} = -\frac{(2-x)^4}{4} $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \frac{1}{8} \int_{-1}^{1} (2 - x)^3 dx = \frac{1}{8} \left. \left(-\frac{(2-x)^4}{4}\right) \right|_{-1}^{1} = -\frac{1}{32} \left. (2-x)^4 \right|_{-1}^{1} $

$ = -\frac{1}{32} \left( (2-1)^4 - (2-(-1))^4 \right) = -\frac{1}{32} \left( 1^4 - 3^4 \right) $

$ = -\frac{1}{32} (1 - 81) = -\frac{1}{32}(-80) = \frac{80}{32} = \frac{5}{2} $.

Ответ: $ \frac{5}{2} $.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{0} \frac{(1 - x)^4}{7} dx $.

Вынесем константу $ \frac{1}{7} $ за знак интеграла: $ \frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = (1-x)^4 $. Здесь $ k=-1, b=1, n=4 $.

Первообразная $ F(x) = \frac{(1-x)^{4+1}}{-1 \cdot (4+1)} = \frac{(1-x)^5}{-5} = -\frac{(1-x)^5}{5} $.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{7} \int_{-1}^{0} (1 - x)^4 dx = \frac{1}{7} \left. \left(-\frac{(1-x)^5}{5}\right) \right|_{-1}^{0} = -\frac{1}{35} \left. (1-x)^5 \right|_{-1}^{0} $

$ = -\frac{1}{35} \left( (1-0)^5 - (1-(-1))^5 \right) = -\frac{1}{35} \left( 1^5 - 2^5 \right) $

$ = -\frac{1}{35} (1 - 32) = -\frac{1}{35}(-31) = \frac{31}{35} $.

Ответ: $ \frac{31}{35} $.