Номер 4.2, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.2. 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos x \,dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x \,dx;$

3) $\int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx;$

4) $\int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos x \,dx = \sin x \Big|_{\pi/6}^{5\pi/6} = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Вычислим значения синусов:

$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, результат равен:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: 0

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x \,dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции.

Первообразной для $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x \,dx = (-\cos x) \Big|_{\pi/3}^{2\pi/3} = \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Вычислим значения косинусов:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Подставим значения:

$\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 5x^4 + 6x^2$ является четной, так как $f(-x) = 5(-x)^4 + 6(-x)^2 = 5x^4 + 6x^2 = f(x)$. Интеграл от четной функции по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен $2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$. Однако мы решим задачу прямым вычислением.

Найдем первообразную для $f(x) = 5x^4 + 6x^2$ по правилу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = 5\frac{x^5}{5} + 6\frac{x^3}{3} = x^5 + 2x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx = (x^5 + 2x^3) \Big|_{-1}^{1} = (1^5 + 2 \cdot 1^3) - ((-1)^5 + 2 \cdot (-1)^3)$.

Выполним вычисления:

$(1 + 2) - (-1 - 2) = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4x^3 + 6x$.

$F(x) = 4\frac{x^4}{4} + 6\frac{x^2}{2} = x^4 + 3x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx = (x^4 + 3x^2) \Big|_{-2}^{1} = (1^4 + 3 \cdot 1^2) - ((-2)^4 + 3 \cdot (-2)^2)$.

Вычислим значения в точках:

При $x=1$: $1^4 + 3 \cdot 1^2 = 1 + 3 = 4$.

При $x=-2$: $(-2)^4 + 3 \cdot (-2)^2 = 16 + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28$.

Найдем разность:

$4 - 28 = -24$.

Ответ: -24