Страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Почему $\int_{a}^{b} f(x) dx$ называется определенным интегралом?

2. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного интеграла?

3. Можно ли рассматривать определенный интеграл в случае, когда подынтегральная функция на данном отрезке не является непрерывной? Обоснуйте свой ответ.

4. Известно, что $\int_{a}^{b} f(x) dx = 0$. Следует ли отсюда, что $f(x) = 0$ на отрезке $[a; b]$? Ответ обоснуйте.

1. Почему $\int_a^b f(x) dx$ называется определенным интегралом?

Интеграл $\int_a^b f(x) dx$ называется «определенным», потому что результатом его вычисления является конкретное, единственное число. Это число полностью определяется (задается) тремя компонентами: подынтегральной функцией $f(x)$, нижним пределом интегрирования $a$ и верхним пределом интегрирования $b$. В отличие от неопределенного интеграла, который представляет собой целое семейство функций (первообразных), определенный интеграл дает один «определенный» числовой результат, который может быть интерпретирован, например, как площадь фигуры.

Ответ: Определенный интеграл — это число, значение которого однозначно определяется функцией и отрезком интегрирования.

2. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного интеграла?

Определенный и неопределенный интегралы — это связанные, но разные математические понятия. Вот их ключевые отличия:

1. Результат вычисления: Результатом вычисления неопределенного интеграла $\int f(x)dx$ является семейство функций (совокупность всех первообразных) вида $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$, а $C$ — произвольная постоянная. Результатом вычисления определенного интеграла $\int_a^b f(x)dx$ является одно конкретное число.

2. Наличие пределов интегрирования: Определенный интеграл всегда имеет пределы интегрирования $a$ и $b$, которые задают отрезок. Неопределенный интеграл пределов не имеет.

3. Геометрический смысл: Определенный интеграл от неотрицательной функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Неопределенный интеграл как семейство функций не имеет такого прямого геометрического смысла.

Ответ: Определенный интеграл — это число, а неопределенный — семейство функций. Определенный интеграл имеет пределы интегрирования и конкретный геометрический смысл (например, площадь), в отличие от неопределенного.

3. Можно ли рассматривать определенный интеграл в случае, когда подынтегральная функция на данном отрезке не является непрерывной? Обоснуйте свой ответ.

Да, можно. Хотя для существования определенного интеграла (в смысле Римана) непрерывность функции является достаточным условием, она не является необходимым. Интеграл можно рассматривать и для некоторых классов разрывных функций.

Обоснование: Если функция $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ имеет конечное число точек разрыва первого рода (то есть разрывы типа «скачок», где существуют конечные односторонние пределы), то она остается интегрируемой на этом отрезке. В таком случае интеграл вычисляется путем разбиения отрезка интегрирования на части в точках разрыва. Например, если $c \in (a, b)$ — единственная точка разрыва функции $f(x)$, то интеграл можно вычислить как сумму интегралов: $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$. Для функций с разрывами второго рода (например, бесконечными) используются обобщения понятия интеграла, такие как несобственные интегралы.

Ответ: Да, можно, если функция имеет конечное число точек разрыва первого рода (является кусочно-непрерывной). В этом случае интеграл вычисляется путем разбиения отрезка интегрирования на части по точкам разрыва.

4. Известно, что $\int_a^b f(x) dx = 0$. Следует ли отсюда, что $f(x) = 0$ на отрезке $[a; b]$? Ответ обоснуйте.

Нет, не следует. Равенство определенного интеграла нулю в общем случае не означает, что подынтегральная функция тождественно равна нулю на всем отрезке интегрирования.

Обоснование: Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую (знакопеременную) сумму площадей. Площадь области, расположенной над осью абсцисс, учитывается со знаком «плюс», а площадь области под осью абсцисс — со знаком «минус». Равенство интеграла нулю означает лишь то, что суммарная площадь над осью $Ox$ в точности равна суммарной площади под ней, то есть они компенсируют друг друга.

Контрпример: Рассмотрим функцию $f(x) = \sin(x)$ на отрезке $[0; 2\pi]$. Функция очевидно не равна нулю на этом отрезке. Однако ее интеграл:$\int_0^{2\pi} \sin(x) dx = [-\cos(x)]_0^{2\pi} = -\cos(2\pi) - (-\cos(0)) = -1 - (-1) = 0$.Площадь «горба» синусоиды на $[0; \pi]$ равна 2, а на $[\pi; 2\pi]$ равна -2, в сумме они дают 0.

Ответ: Нет, не следует. Равенство интеграла нулю означает, что алгебраическая сумма площадей, ограниченных графиком функции, равна нулю (положительные и отрицательные площади компенсируют друг друга), но сама функция может быть при этом ненулевой.

Вычислите интегралы (4.1—4.2):

4.1. 1) $\int_{-3}^{2} (2x - 3)dx;$

2) $\int_{-2}^{1} (5 - 4x)dx;$

3) $\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10)dx;$

4) $\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5)dx.$

4.1.1 1) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 3$.

$F(x) = \int (2x - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x = x^2 - 3x$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования $a = -3$ и $b = 2$:

$\int_{-3}^{2} (2x - 3) dx = (x^2 - 3x)|_{-3}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - ((-3)^2 - 3 \cdot (-3)) = (4 - 6) - (9 + 9) = -2 - 18 = -20$.

Ответ: -20

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 5 - 4x$.

$F(x) = \int (5 - 4x) dx = 5x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 5x - 2x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a = -2$ и $b = 1$:

$\int_{-2}^{1} (5 - 4x) dx = (5x - 2x^2)|_{-2}^{1} = (5 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) - (5 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)^2) = (5 - 2) - (-10 - 2 \cdot 4) = 3 - (-10 - 8) = 3 - (-18) = 21$.

Ответ: 21

3) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3x^2 + 10$.

$F(x) = \int (3x^2 + 10) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 10x = x^3 + 10x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a = -2$ и $b = 0$:

$\int_{-2}^{0} (3x^2 + 10) dx = (x^3 + 10x)|_{-2}^{0} = (0^3 + 10 \cdot 0) - ((-2)^3 + 10 \cdot (-2)) = 0 - (-8 - 20) = 0 - (-28) = 28$.

Ответ: 28

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5) dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 6x^2 - 2x + 5$.

$F(x) = \int (6x^2 - 2x + 5) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x = 2x^3 - x^2 + 5x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования $a = 0$ и $b = 2$:

$\int_{0}^{2} (6x^2 - 2x + 5) dx = (2x^3 - x^2 + 5x)|_{0}^{2} = (2 \cdot 2^3 - 2^2 + 5 \cdot 2) - (2 \cdot 0^3 - 0^2 + 5 \cdot 0) = (2 \cdot 8 - 4 + 10) - 0 = 16 - 4 + 10 = 22$.

Ответ: 22

4.2. 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos x \,dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x \,dx;$

3) $\int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx;$

4) $\int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{\pi/6}^{5\pi/6} \cos x \,dx = \sin x \Big|_{\pi/6}^{5\pi/6} = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Вычислим значения синусов:

$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Следовательно, результат равен:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

Ответ: 0

2) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x \,dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции.

Первообразной для $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\pi/3}^{2\pi/3} \sin x \,dx = (-\cos x) \Big|_{\pi/3}^{2\pi/3} = \left(-\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$.

Вычислим значения косинусов:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

$\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Подставим значения:

$\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Ответ: 1

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 5x^4 + 6x^2$ является четной, так как $f(-x) = 5(-x)^4 + 6(-x)^2 = 5x^4 + 6x^2 = f(x)$. Интеграл от четной функции по симметричному промежутку $[-a, a]$ равен $2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$. Однако мы решим задачу прямым вычислением.

Найдем первообразную для $f(x) = 5x^4 + 6x^2$ по правилу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = 5\frac{x^5}{5} + 6\frac{x^3}{3} = x^5 + 2x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} (5x^4 + 6x^2) \,dx = (x^5 + 2x^3) \Big|_{-1}^{1} = (1^5 + 2 \cdot 1^3) - ((-1)^5 + 2 \cdot (-1)^3)$.

Выполним вычисления:

$(1 + 2) - (-1 - 2) = 3 - (-3) = 3 + 3 = 6$.

Ответ: 6

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4x^3 + 6x$.

$F(x) = 4\frac{x^4}{4} + 6\frac{x^2}{2} = x^4 + 3x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{1} (4x^3 + 6x) \,dx = (x^4 + 3x^2) \Big|_{-2}^{1} = (1^4 + 3 \cdot 1^2) - ((-2)^4 + 3 \cdot (-2)^2)$.

Вычислим значения в точках:

При $x=1$: $1^4 + 3 \cdot 1^2 = 1 + 3 = 4$.

При $x=-2$: $(-2)^4 + 3 \cdot (-2)^2 = 16 + 3 \cdot 4 = 16 + 12 = 28$.

Найдем разность:

$4 - 28 = -24$.

Ответ: -24