Страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.9. 1) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 12\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sin 2x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos 2x dx.$

1) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 12\sin(\frac{\pi}{8}-x)\cos(\frac{\pi}{8}-x) dx $ воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ 12\sin(\frac{\pi}{8}-x)\cos(\frac{\pi}{8}-x) = 6 \cdot [2\sin(\frac{\pi}{8}-x)\cos(\frac{\pi}{8}-x)] = 6\sin(2(\frac{\pi}{8}-x)) = 6\sin(\frac{\pi}{4}-2x) $.

Теперь вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6\sin(\frac{\pi}{4}-2x) dx = 6 \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} \sin(\frac{\pi}{4}-2x) dx $.

Первообразная для $ \sin(\frac{\pi}{4}-2x) $ равна $ - \frac{1}{-2}\cos(\frac{\pi}{4}-2x) = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}-2x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ 6 \cdot [\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}-2x)]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} = 3[\cos(\frac{\pi}{4}-2 \cdot \frac{3\pi}{8}) - \cos(\frac{\pi}{4}-2 \cdot \frac{\pi}{8})] $

$ = 3[\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})] = 3[\cos(-\frac{\pi}{2}) - \cos(0)] $.

Так как $ \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $, получаем:

$ 3(0 - 1) = -3 $.

Ответ: $ -3 $

2) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos^2(x+\frac{\pi}{3}) - \sin^2(x+\frac{\pi}{3})) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.

Подынтегральное выражение равно $ \cos(2(x+\frac{\pi}{3})) = \cos(2x+\frac{2\pi}{3}) $.

Вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x+\frac{2\pi}{3}) dx $.

Первообразная для $ \cos(2x+\frac{2\pi}{3}) $ равна $ \frac{1}{2}\sin(2x+\frac{2\pi}{3}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ [\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{2\pi}{3})]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}[\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}) - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3})] $

$ = \frac{1}{2}[\sin(\frac{4\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3})] = \frac{1}{2}[\sin(\frac{4\pi}{3}) - \sin(\pi)] $.

Так как $ \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(\pi) = 0 $, получаем:

$ \frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{4} $

3) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sin 2x dx $ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ \sin x \sin 2x = \frac{1}{2}(\cos(x-2x) - \cos(x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) - \cos(3x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) $.

Вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x - \cos 3x) dx $.

Первообразная для $ (\cos x - \cos 3x) $ равна $ (\sin x - \frac{1}{3}\sin 3x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2}[\sin x - \frac{1}{3}\sin 3x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2}[(\sin \pi - \frac{1}{3}\sin 3\pi) - (\sin \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}\sin \frac{3\pi}{2})] $

$ = \frac{1}{2}[(0 - \frac{1}{3} \cdot 0) - (1 - \frac{1}{3}(-1))] = \frac{1}{2}[0 - (1+\frac{1}{3})] = \frac{1}{2}(-\frac{4}{3}) = -\frac{2}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2}{3} $

4) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos 2x dx $ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ \cos x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(x-2x) + \cos(x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) + \cos(3x)) = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x) $.

Вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x + \cos 3x) dx $.

Первообразная для $ (\cos x + \cos 3x) $ равна $ (\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2}[\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2}[(\sin \pi + \frac{1}{3}\sin 3\pi) - (\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\sin \frac{3\pi}{2})] $

$ = \frac{1}{2}[(0 + \frac{1}{3} \cdot 0) - (1 + \frac{1}{3}(-1))] = \frac{1}{2}[0 - (1-\frac{1}{3})] = \frac{1}{2}(-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{3} $.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $

4.10. Решите уравнение:

1) $\int_{1}^{x}(3-2t)dt = 4-2x;$

2) $\int_{1}^{x}(1-4t)dt = 12-9x;$

3) $\int_{x}^{-1}(3t-2)dt = 5-x;$

4) $\int_{x}^{-2}(5t+1)dt = 6+x.$

1) Для решения уравнения $\int_1^x (3 - 2t)dt = 4 - 2x$ сначала вычислим определенный интеграл в левой части.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 3 - 2t$.

$F(t) = \int (3 - 2t)dt = 3t - 2\frac{t^2}{2} = 3t - t^2$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_1^x (3 - 2t)dt = (3t - t^2)|_1^x = (3x - x^2) - (3 \cdot 1 - 1^2) = 3x - x^2 - (3 - 1) = 3x - x^2 - 2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3x - x^2 - 2 = 4 - 2x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 3x + 2x - 2 - 4 = 0$

$-x^2 + 5x - 6 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 - 5x + 6 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Ответ: $x=2, x=3$.

2) Решим уравнение $\int_1^x (1 - 4t)dt = 12 - 9x$.

Найдем первообразную для $f(t) = 1 - 4t$:

$F(t) = \int (1 - 4t)dt = t - 4\frac{t^2}{2} = t - 2t^2$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_1^x (1 - 4t)dt = (t - 2t^2)|_1^x = (x - 2x^2) - (1 - 2 \cdot 1^2) = x - 2x^2 - (1 - 2) = x - 2x^2 + 1$.

Подставим в исходное уравнение:

$x - 2x^2 + 1 = 12 - 9x$.

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$-2x^2 + x + 9x + 1 - 12 = 0$

$-2x^2 + 10x - 11 = 0$

$2x^2 - 10x + 11 = 0$.

Решим уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 11 = 100 - 88 = 12$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $x = \frac{5 + \sqrt{3}}{2}, x = \frac{5 - \sqrt{3}}{2}$.

3) Решим уравнение $\int_x^{-1} (3t - 2)dt = 5 - x$.

Найдем первообразную для $f(t) = 3t - 2$:

$F(t) = \int (3t - 2)dt = 3\frac{t^2}{2} - 2t$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_x^{-1} (3t - 2)dt = (\frac{3}{2}t^2 - 2t)|_x^{-1} = (\frac{3}{2}(-1)^2 - 2(-1)) - (\frac{3}{2}x^2 - 2x) = (\frac{3}{2} + 2) - \frac{3}{2}x^2 + 2x = \frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x$.

Подставим в исходное уравнение:

$\frac{7}{2} - \frac{3}{2}x^2 + 2x = 5 - x$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$7 - 3x^2 + 4x = 10 - 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-3x^2 + 4x + 2x + 7 - 10 = 0$

$-3x^2 + 6x - 3 = 0$.

Разделим обе части на -3:

$x^2 - 2x + 1 = 0$.

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 1)^2 = 0$.

Следовательно, уравнение имеет один корень:

$x = 1$.

Ответ: $x=1$.

4) Решим уравнение $\int_x^{-2} (5t + 1)dt = 6 + x$.

Найдем первообразную для $f(t) = 5t + 1$:

$F(t) = \int (5t + 1)dt = 5\frac{t^2}{2} + t$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_x^{-2} (5t + 1)dt = (\frac{5}{2}t^2 + t)|_x^{-2} = (\frac{5}{2}(-2)^2 + (-2)) - (\frac{5}{2}x^2 + x) = (\frac{5}{2} \cdot 4 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = (10 - 2) - \frac{5}{2}x^2 - x = 8 - \frac{5}{2}x^2 - x$.

Подставим в исходное уравнение:

$8 - \frac{5}{2}x^2 - x = 6 + x$.

Умножим обе части на 2:

$16 - 5x^2 - 2x = 12 + 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$-5x^2 - 2x - 2x + 16 - 12 = 0$

$-5x^2 - 4x + 4 = 0$.

Умножим на -1:

$5x^2 + 4x - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 16 + 80 = 96$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 5} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{10} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{6}}{10} = \frac{2(-2 \pm 2\sqrt{6})}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{5}$.

Ответ: $x = \frac{-2 + 2\sqrt{6}}{5}, x = \frac{-2 - 2\sqrt{6}}{5}$.

4.11. Решите неравенство:

1) $\int_{0}^{x} 5dt > 1;$

2) $\int_{x}^{x^2} 5dt < 0;$

3) $\int_{x}^{1} 3dt > 9;$

4) $\int_{x}^{2} (2t - 3) dt > 0.$

1) Сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства:

$ \int_{0}^{x} 5dt $

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{x} 5dt = [5t]_{0}^{x} = 5x - 5 \cdot 0 = 5x $.

Теперь решим неравенство:

$ 5x > 1 $

$ x > \frac{1}{5} $.

Ответ: $x \in (\frac{1}{5}; +\infty)$.

2) Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{x}^{x^2} 5dt $

Первообразная для $f(t) = 5$ есть $F(t) = 5t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{x^2} 5dt = [5t]_{x}^{x^2} = 5x^2 - 5x $.

Решим полученное неравенство:

$ 5x^2 - 5x < 0 $

Разделим обе части на 5:

$ x^2 - x < 0 $

$ x(x - 1) < 0 $.

Это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 1) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

$ 0 < x < 1 $.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3) Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{x}^{1} 3dt $

Первообразная для $f(t) = 3$ есть $F(t) = 3t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{1} 3dt = [3t]_{x}^{1} = 3 \cdot 1 - 3x = 3 - 3x $.

Теперь решим неравенство:

$ 3 - 3x > 9 $

$ -3x > 9 - 3 $

$ -3x > 6 $

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$ x < \frac{6}{-3} $

$ x < -2 $.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

4) Вычислим определенный интеграл:

$ \int_{x}^{2} (2t - 3) dt $

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 3$:

$ F(t) = \int (2t - 3)dt = 2\frac{t^2}{2} - 3t = t^2 - 3t $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{2} (2t - 3) dt = [t^2 - 3t]_{x}^{2} = (2^2 - 3 \cdot 2) - (x^2 - 3x) = (4 - 6) - (x^2 - 3x) = -2 - x^2 + 3x $.

Решим неравенство:

$ -x^2 + 3x - 2 > 0 $.

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:

$ x^2 - 3x + 2 < 0 $.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Разложим на множители: $(x - 1)(x - 2) < 0$.

Ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями.

$ 1 < x < 2 $.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

Вычислите интегралы (4.12–4.14):

4.12. 1) $\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\cos(3x)dx;$

2) $\int_0^{\pi/2} \sin(4x)\sin(5x)dx;$

3) $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x dx}{1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{2}};$

4) $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x dx}{2\sin x + 1}.$

4.12. 1) Для вычисления интеграла $\int_0^\pi \sin(2x)\cos(3x)dx$ воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$. Применяя эту формулу, получаем: $\sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin x)$. Тогда интеграл принимает вид: $\int_0^\pi \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin x)dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi (\sin(5x) - \sin x)dx = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{5}\cos(5x) + \cos x\right]_0^\pi$. Подставляя пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница, имеем: $\frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{5}\cos(5\pi) + \cos\pi\right) - \left(-\frac{1}{5}\cos(0) + \cos 0\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{5}(-1) + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{5}(1) + 1\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{5} - 1\right) - \left(-\frac{1}{5} + 1\right) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{8}{5}\right) = -\frac{4}{5}$. Ответ: $-\frac{4}{5}$

2) Для вычисления интеграла $\int_0^{\pi/2} \sin(4x)\sin(5x)dx$ применим формулу произведения синусов: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$. В нашем случае $\alpha = 4x$ и $\beta = 5x$. Тогда подынтегральное выражение равно: $\sin(4x)\sin(5x) = \frac{1}{2}(\cos(4x-5x) - \cos(4x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) - \cos(9x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos(9x))$. Вычисляем интеграл: $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}(\cos x - \cos(9x))dx = \frac{1}{2} \left[\sin x - \frac{1}{9}\sin(9x)\right]_0^{\pi/2}$. Подставляем пределы: $\frac{1}{2} \left( \left(\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{9}\sin\frac{9\pi}{2}\right) - \left(\sin 0 - \frac{1}{9}\sin 0\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{1}{9}(1)\right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$

3) Рассмотрим интеграл $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 - \sqrt{2}\cos\frac{x}{2}} dx$. Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$. Тогда интеграл принимает вид: $\int_0^{\pi/2} \frac{2\cos^2\frac{x}{2} - 1}{1 - \sqrt{2}\cos\frac{x}{2}} dx$. Разложим числитель на множители как разность квадратов: $2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = (\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)$. После подстановки и сокращения дроби получаем: $\int_0^{\pi/2} \frac{(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)}{-(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)} dx = \int_0^{\pi/2} -(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1) dx$. Вычисляем полученный интеграл: $-\left[\sqrt{2}\cdot 2\sin\frac{x}{2} + x\right]_0^{\pi/2} = -\left[2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + x\right]_0^{\pi/2}$. Подставляем пределы интегрирования: $-\left( \left(2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) - (2\sqrt{2}\sin 0 + 0) \right) = -\left( \left(2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - 0 \right) = -\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = -2 - \frac{\pi}{2}$. Подынтегральная функция имеет устранимый разрыв в точке $x=\pi/2$, поэтому вычисление определенного интеграла корректно. Ответ: $-2 - \frac{\pi}{2}$

4) Для вычисления интеграла $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{2\sin x + 1} dx$ используем метод замены переменной. Пусть $u = 2\sin x + 1$. Тогда дифференциал $du = (2\sin x + 1)'dx = 2\cos x dx$, откуда $\cos x dx = \frac{1}{2}du$. Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=0$, то $u = 2\sin 0 + 1 = 1$. Если $x=\pi/2$, то $u = 2\sin\frac{\pi}{2} + 1 = 2(1) + 1 = 3$. Теперь подставим все в интеграл: $\int_1^3 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int_1^3 \frac{du}{u}$. Этот интеграл является табличным: $\frac{1}{2} \left[\ln|u|\right]_1^3 = \frac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{2}(\ln 3 - 0) = \frac{1}{2}\ln 3$. Ответ: $\frac{1}{2}\ln 3$

4.13. 1) $\int_{0}^{1} (2 + 5x)^3 dx;$

2) $\int_{0}^{1} (2x + 3)^3 dx;$

3) $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(6x - 1)^4};$

4) $\int_{-1}^{0} \frac{dx}{(1 - 2x)^5};$

1) Для вычисления интеграла $ \int_0^1 (2+5x)^3 dx $ воспользуемся методом замены переменной (подстановки).

Пусть $ t = 2+5x $. Тогда найдем дифференциал $ dt = (2+5x)'dx = 5dx $. Отсюда выразим $ dx = \frac{dt}{5} $.

Теперь необходимо найти новые пределы интегрирования для переменной $ t $.

Нижний предел: если $ x=0 $, то $ t = 2+5 \cdot 0 = 2 $.

Верхний предел: если $ x=1 $, то $ t = 2+5 \cdot 1 = 7 $.

Подставляем все в исходный интеграл:

$ \int_0^1 (2+5x)^3 dx = \int_2^7 t^3 \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} \int_2^7 t^3 dt $

Теперь используем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $. Первообразная для $ t^3 $ равна $ \frac{t^4}{4} $.

$ \frac{1}{5} \int_2^7 t^3 dt = \frac{1}{5} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_2^7 = \frac{1}{5} \left( \frac{7^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = \frac{1}{20} (7^4 - 2^4) = \frac{1}{20} (2401 - 16) = \frac{2385}{20} = \frac{477}{4} = 119,25 $.

Ответ: $119,25$.

2) Для вычисления интеграла $ \int_0^1 (2x+3)^3 dx $ также используем метод замены переменной.

Пусть $ t = 2x+3 $. Тогда $ dt = (2x+3)'dx = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Нижний предел: если $ x=0 $, то $ t = 2 \cdot 0 + 3 = 3 $.

Верхний предел: если $ x=1 $, то $ t = 2 \cdot 1 + 3 = 5 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_0^1 (2x+3)^3 dx = \int_3^5 t^3 \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_3^5 t^3 dt = \frac{1}{2} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_3^5 = \frac{1}{8} [t^4]_3^5 = \frac{1}{8} (5^4 - 3^4) = \frac{1}{8} (625 - 81) = \frac{544}{8} = 68 $.

Ответ: $68$.

3) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(6x-1)^4} $.

Применим замену переменной. Пусть $ t = 6x-1 $. Тогда $ dt = 6dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{6} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Нижний предел: если $ x=-1 $, то $ t = 6(-1)-1 = -7 $.

Верхний предел: если $ x=0 $, то $ t = 6(0)-1 = -1 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(6x-1)^4} = \int_{-7}^{-1} \frac{1}{t^4} \frac{dt}{6} = \frac{1}{6} \int_{-7}^{-1} t^{-4} dt $.

Первообразная для $ t^{-4} $ равна $ \frac{t^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3t^3} $.

$ \frac{1}{6} \left[ -\frac{1}{3t^3} \right]_{-7}^{-1} = -\frac{1}{18} \left[ \frac{1}{t^3} \right]_{-7}^{-1} = -\frac{1}{18} \left( \frac{1}{(-1)^3} - \frac{1}{(-7)^3} \right) = -\frac{1}{18} \left( \frac{1}{-1} - \frac{1}{-343} \right) = -\frac{1}{18} \left( -1 + \frac{1}{343} \right) = -\frac{1}{18} \left( \frac{-343+1}{343} \right) = -\frac{1}{18} \left( \frac{-342}{343} \right) = \frac{342}{18 \cdot 343} = \frac{19}{343} $.

Ответ: $\frac{19}{343}$.

4) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(1-2x)^5} $.

Применим замену переменной. Пусть $ t = 1-2x $. Тогда $ dt = -2dx $, откуда $ dx = -\frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Нижний предел: если $ x=-1 $, то $ t = 1-2(-1) = 3 $.

Верхний предел: если $ x=0 $, то $ t = 1-2(0) = 1 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{-1}^0 \frac{dx}{(1-2x)^5} = \int_3^1 \frac{1}{t^5} \left(-\frac{dt}{2}\right) = -\frac{1}{2} \int_3^1 t^{-5} dt $.

Используя свойство определенного интеграла $ \int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx $, поменяем пределы интегрирования:

$ \frac{1}{2} \int_1^3 t^{-5} dt $.

Первообразная для $ t^{-5} $ равна $ \frac{t^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4t^4} $.

$ \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{4t^4} \right]_1^3 = -\frac{1}{8} \left[ \frac{1}{t^4} \right]_1^3 = -\frac{1}{8} \left( \frac{1}{3^4} - \frac{1}{1^4} \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{1}{81} - 1 \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{1-81}{81} \right) = -\frac{1}{8} \left( \frac{-80}{81} \right) = \frac{80}{8 \cdot 81} = \frac{10}{81} $.

Ответ: $\frac{10}{81}$.

4.14. 1) $\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}};$

2) $\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}};$

3) $\int_{2}^{3} \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{1 + x^2} dx;$

4) $\int_{-3}^{-2} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 1} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x - 1}}$.

Используем метод замены переменной. Пусть $t = 3x - 1$, тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.

$\int \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}} = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{3} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} \sqrt{t} + C$.

Выполнив обратную замену, получаем первообразную: $F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{3x - 1}$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{2}^{12} \frac{dx}{\sqrt{3x - 1}} = \left. \frac{2}{3} \sqrt{3x - 1} \right|_{2}^{12} = \frac{2}{3} (\sqrt{3 \cdot 12 - 1} - \sqrt{3 \cdot 2 - 1}) = \frac{2}{3} (\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

Ответ: $\frac{2}{3}(\sqrt{35} - \sqrt{5})$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}}$ найдем первообразную функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ и применим формулу Ньютона-Лейбница.

Сделаем замену: $t = 2x + 1$. Тогда $dt = 2dx$ и $dx = \frac{dt}{2}$.

$\int \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}} = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = \frac{1}{2} \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = \sqrt{t} + C = \sqrt{2x + 1} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{4}^{12} \frac{dx}{\sqrt{2x + 1}} = \left. \sqrt{2x + 1} \right|_{4}^{12} = \sqrt{2 \cdot 12 + 1} - \sqrt{2 \cdot 4 + 1} = \sqrt{25} - \sqrt{9} = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $2$.

3) Рассмотрим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{2x^3 + x^2 + 2x + 1}{1 + x^2} dx$. Перед интегрированием упростим подынтегральную дробь.

Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

$2x^3 + x^2 + 2x + 1 = (2x^3 + 2x) + (x^2 + 1) = 2x(x^2 + 1) + 1(x^2 + 1) = (2x+1)(x^2+1)$.

Тогда подынтегральная функция упрощается: $\frac{(2x+1)(x^2+1)}{1+x^2} = 2x+1$.

Интеграл принимает вид: $\int_{2}^{3} (2x + 1) dx$.

Найдем первообразную: $\int (2x+1) dx = x^2 + x + C$.

Вычислим определенный интеграл:

$\int_{2}^{3} (2x + 1) dx = \left. (x^2 + x) \right|_{2}^{3} = (3^2 + 3) - (2^2 + 2) = (9 + 3) - (4 + 2) = 12 - 6 = 6$.

Ответ: $6$.

4) Рассмотрим интеграл $\int_{-3}^{-2} \frac{x^3 - x^2 - x + 1}{x^2 - 1} dx$. Упростим подынтегральное выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

Знаменатель: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Числитель: $x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x^2-1)(x-1)$.

Сократим дробь. Это преобразование корректно, так как на отрезке интегрирования $[-3, -2]$ знаменатель $x^2-1$ не равен нулю.

$\frac{(x^2-1)(x-1)}{x^2 - 1} = x - 1$.

Интеграл сводится к следующему: $\int_{-3}^{-2} (x - 1) dx$.

Первообразная для $x-1$ это $\frac{x^2}{2} - x$. Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-3}^{-2} (x - 1) dx = \left. \left(\frac{x^2}{2} - x\right) \right|_{-3}^{-2} = \left(\frac{(-2)^2}{2} - (-2)\right) - \left(\frac{(-3)^2}{2} - (-3)\right) = \left(\frac{4}{2} + 2\right) - \left(\frac{9}{2} + 3\right) = (2+2) - (4.5 + 3) = 4 - 7.5 = -3.5$.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.