Номер 4.9, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.9. 1) $\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 12\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \left(\cos^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin^2\left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right)dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sin 2x dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos 2x dx.$

1) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 12\sin(\frac{\pi}{8}-x)\cos(\frac{\pi}{8}-x) dx $ воспользуемся формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ 12\sin(\frac{\pi}{8}-x)\cos(\frac{\pi}{8}-x) = 6 \cdot [2\sin(\frac{\pi}{8}-x)\cos(\frac{\pi}{8}-x)] = 6\sin(2(\frac{\pi}{8}-x)) = 6\sin(\frac{\pi}{4}-2x) $.

Теперь вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} 6\sin(\frac{\pi}{4}-2x) dx = 6 \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} \sin(\frac{\pi}{4}-2x) dx $.

Первообразная для $ \sin(\frac{\pi}{4}-2x) $ равна $ - \frac{1}{-2}\cos(\frac{\pi}{4}-2x) = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}-2x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ 6 \cdot [\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{4}-2x)]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3\pi}{8}} = 3[\cos(\frac{\pi}{4}-2 \cdot \frac{3\pi}{8}) - \cos(\frac{\pi}{4}-2 \cdot \frac{\pi}{8})] $

$ = 3[\cos(\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4})] = 3[\cos(-\frac{\pi}{2}) - \cos(0)] $.

Так как $ \cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $, получаем:

$ 3(0 - 1) = -3 $.

Ответ: $ -3 $

2) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos^2(x+\frac{\pi}{3}) - \sin^2(x+\frac{\pi}{3})) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.

Подынтегральное выражение равно $ \cos(2(x+\frac{\pi}{3})) = \cos(2x+\frac{2\pi}{3}) $.

Вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \cos(2x+\frac{2\pi}{3}) dx $.

Первообразная для $ \cos(2x+\frac{2\pi}{3}) $ равна $ \frac{1}{2}\sin(2x+\frac{2\pi}{3}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ [\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{2\pi}{3})]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}[\sin(2 \cdot \frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}) - \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3})] $

$ = \frac{1}{2}[\sin(\frac{4\pi}{3}) - \sin(\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3})] = \frac{1}{2}[\sin(\frac{4\pi}{3}) - \sin(\pi)] $.

Так как $ \sin(\frac{4\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin(\pi) = 0 $, получаем:

$ \frac{1}{2}(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = -\frac{\sqrt{3}}{4} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{4} $

3) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \sin 2x dx $ воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму: $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ \sin x \sin 2x = \frac{1}{2}(\cos(x-2x) - \cos(x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) - \cos(3x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) $.

Вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos x - \cos 3x) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x - \cos 3x) dx $.

Первообразная для $ (\cos x - \cos 3x) $ равна $ (\sin x - \frac{1}{3}\sin 3x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2}[\sin x - \frac{1}{3}\sin 3x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2}[(\sin \pi - \frac{1}{3}\sin 3\pi) - (\sin \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}\sin \frac{3\pi}{2})] $

$ = \frac{1}{2}[(0 - \frac{1}{3} \cdot 0) - (1 - \frac{1}{3}(-1))] = \frac{1}{2}[0 - (1+\frac{1}{3})] = \frac{1}{2}(-\frac{4}{3}) = -\frac{2}{3} $.

Ответ: $ -\frac{2}{3} $

4) Для решения интеграла $ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \cos 2x dx $ воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) + \cos(A+B)) $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ \cos x \cos 2x = \frac{1}{2}(\cos(x-2x) + \cos(x+2x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) + \cos(3x)) = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x) $.

Вычислим интеграл:

$ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x) dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\cos x + \cos 3x) dx $.

Первообразная для $ (\cos x + \cos 3x) $ равна $ (\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2}[\sin x + \frac{1}{3}\sin 3x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \frac{1}{2}[(\sin \pi + \frac{1}{3}\sin 3\pi) - (\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\sin \frac{3\pi}{2})] $

$ = \frac{1}{2}[(0 + \frac{1}{3} \cdot 0) - (1 + \frac{1}{3}(-1))] = \frac{1}{2}[0 - (1-\frac{1}{3})] = \frac{1}{2}(-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{3} $.

Ответ: $ -\frac{1}{3} $