Номер 4.16, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.16. Найдите наименьшее:

1) положительное значение $x$, при котором $\int_{x}^{2x} \sin2tdt = \frac{1}{2}$;

2) целое положительное значение $x$, при котором $\int_{x}^{x-1} \sin2tdt < 0$.

1) положительное значение x, при котором $\int_{x}^{2x} \sin{2t}dt = \frac{1}{2}$;

Сначала вычислим определенный интеграл:

$\int_{x}^{2x} \sin{2t}dt = [-\frac{1}{2}\cos{2t}]_{x}^{2x} = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 2x) - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{1}{2}(\cos{2x} - \cos{4x})$.

Теперь приравняем результат к $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2}(\cos{2x} - \cos{4x}) = \frac{1}{2}$

$\cos{2x} - \cos{4x} = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos{4x} = 2\cos^2{2x} - 1$:

$\cos{2x} - (2\cos^2{2x} - 1) = 1$

$\cos{2x} - 2\cos^2{2x} + 1 = 1$

$\cos{2x} - 2\cos^2{2x} = 0$

$\cos{2x}(1 - 2\cos{2x}) = 0$

Отсюда получаем два случая:

a) $\cos{2x} = 0$

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

Наименьшее положительное значение $x$ в этом случае (при $n=0$) равно $\frac{\pi}{4}$.

б) $1 - 2\cos{2x} = 0$, то есть $\cos{2x} = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Наименьшее положительное значение $x$ в этом случае (при $k=0$ для знака "+") равно $\frac{\pi}{6}$.

Сравнивая полученные наименьшие положительные значения $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{6}$, выбираем наименьшее из них.

Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$, наименьшее положительное значение $x$ равно $\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

2) целое положительное значение x, при котором $\int_{x}^{x-1} \sin{2t}dt < 0$.

Вычислим интеграл, используя свойство $\int_{a}^{b} f(t)dt = - \int_{b}^{a} f(t)dt$ и результат из предыдущего пункта:

$\int_{x}^{x-1} \sin{2t}dt = [-\frac{1}{2}\cos{2t}]_{x}^{x-1} = -\frac{1}{2}\cos(2(x-1)) - (-\frac{1}{2}\cos(2x)) = \frac{1}{2}(\cos{2x} - \cos(2x-2))$.

Теперь решим неравенство:

$\frac{1}{2}(\cos{2x} - \cos(2x-2)) < 0$

$\cos{2x} - \cos(2x-2) < 0$

Применим формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:

Пусть $\alpha = 2x$, $\beta = 2x-2$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{2x+2x-2}{2} = 2x-1$.

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{2x-(2x-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Неравенство принимает вид:

$-2\sin(2x-1)\sin(1) < 0$.

Так как $1$ радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \frac{\pi}{2}$), значение $\sin(1)$ положительно. Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-2\sin(1)$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin(2x-1) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда аргумент синуса находится в интервале $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для любого целого $n$.

$2\pi n < 2x-1 < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$2\pi n + 1 < 2x < \pi + 1 + 2\pi n$.

$\pi n + \frac{1}{2} < x < \frac{\pi+1}{2} + \pi n$.

Мы ищем наименьшее целое положительное значение $x$. Проверим значения $n$, начиная с $n=0$.

При $n=0$:

$\frac{1}{2} < x < \frac{\pi+1}{2}$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$, имеем $0.5 < x < \frac{3.14+1}{2} \approx 2.07$.

Целые значения $x$ в этом интервале: $1$ и $2$. Наименьшее из них равно $1$.

При $n=1$:

$\pi + \frac{1}{2} < x < \pi + \frac{\pi+1}{2}$.

$\approx 3.14 + 0.5 < x < 3.14 + 2.07$, то есть $3.64 < x < 5.21$.

Целые значения $x$ в этом интервале: $4$ и $5$.

Наименьшее целое положительное значение $x$, удовлетворяющее условию, это $1$.

Ответ: 1.