Номер 4.20, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.20. Найдите первообразную для функции:

1) $f(x) = 2x + 6x^3;$

2) $f(x) = \sqrt{2x+1} - 4x^3;$

3) $f(x) = 6\cos3x - 4x;$

4) $f(x) = 2\sin2x - 2x;$

1)Первообразная функции $F(x)$ есть неопределенный интеграл от заданной функции $f(x)$.$F(x) = \int f(x) \,dx = \int (2x + 6x^3) \,dx$.Используя свойство линейности интеграла, разобьем его на два:$F(x) = \int 2x \,dx + \int 6x^3 \,dx$.Вынесем константы за знак интеграла:$F(x) = 2 \int x \,dx + 6 \int x^3 \,dx$.Применим формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 6 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 6 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^2 + \frac{3}{2}x^4 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{3}{2}x^4 + C$.

2)Найдем первообразную для функции $f(x) = \sqrt{2x+1} - 4x^3$:$F(x) = \int (\sqrt{2x+1} - 4x^3) \,dx = \int (2x+1)^{1/2} \,dx - \int 4x^3 \,dx$.Для первого интеграла $\int (2x+1)^{1/2} \,dx$ используем метод замены переменной. Пусть $u = 2x+1$, тогда $du = 2\,dx$, и $dx = \frac{du}{2}$.$\int (2x+1)^{1/2} \,dx = \int u^{1/2} \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{1/2} \,du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{1}{3}u^{3/2} + C_1 = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + C_1$.Второй интеграл $\int 4x^3 \,dx$ является табличным:$\int 4x^3 \,dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C_2 = x^4 + C_2$.Складывая результаты, получаем общую первообразную:$F(x) = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} - x^4 + C$, где $C = C_1 - C_2$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} - x^4 + C$.

3)Найдем первообразную для функции $f(x) = 6\cos(3x) - 4x$:$F(x) = \int (6\cos(3x) - 4x) \,dx = \int 6\cos(3x) \,dx - \int 4x \,dx$.Используем табличные интегралы $\int \cos(kx) \,dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$ и $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:$F(x) = 6 \int \cos(3x) \,dx - 4 \int x \,dx = 6 \cdot \frac{\sin(3x)}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2\sin(3x) - 2x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = 2\sin(3x) - 2x^2 + C$.

4)Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sin(2x) - 2x$:$F(x) = \int (2\sin(2x) - 2x) \,dx = \int 2\sin(2x) \,dx - \int 2x \,dx$.Используем табличные интегралы $\int \sin(kx) \,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$ и $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:$F(x) = 2 \int \sin(2x) \,dx - 2 \int x \,dx = 2 \cdot \left(-\frac{\cos(2x)}{2}\right) - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -\cos(2x) - x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = -\cos(2x) - x^2 + C$.