Номер 4.19, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.19. На координатной плоскости постройте область, ограниченную графиками функций:

1) $y = 2 + \sin x$ и $y = x^2 - x$;

2) $y = \cos x + 1$ и $y = \sqrt{4-x}$.

1) $y = 2 + \sin x$ и $y = x^2 - x$

Для построения области, ограниченной графиками данных функций, необходимо сначала проанализировать сами функции и найти их точки пересечения.

Функция $y_1 = 2 + \sin x$ является синусоидой, смещенной на 2 единицы вверх по оси ординат. Поскольку область значений функции $\sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то область значений функции $y_1$ есть отрезок $[2-1, 2+1]$, то есть $[1, 3]$.

Функция $y_2 = x^2 - x$ является параболой, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -(-1)/(2 \cdot 1) = 1/2$, $y_0 = (1/2)^2 - 1/2 = 1/4 - 1/2 = -1/4$. Вершина находится в точке $(1/2, -1/4)$.

Точки пересечения графиков находятся из уравнения $y_1 = y_2$:$2 + \sin x = x^2 - x$Это трансцендентное уравнение, которое не решается аналитически в элементарных функциях. Обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$.

Чтобы определить, какой график находится выше, сравним значения функций в какой-либо точке между корнями. Например, при $x=0$:$y_1(0) = 2 + \sin 0 = 2$$y_2(0) = 0^2 - 0 = 0$Так как $y_1(0) > y_2(0)$, на интервале между точками пересечения $(x_1, x_2)$ график функции $y = 2 + \sin x$ лежит выше графика функции $y = x^2 - x$.

Исследуем наличие корней. Пусть $h(x) = (x^2 - x) - (2 + \sin x) = x^2 - x - 2 - \sin x$.При $x=-1$: $h(-1) = (-1)^2 - (-1) - 2 - \sin(-1) = 1 + 1 - 2 + \sin(1) = \sin(1) > 0$.При $x=0$: $h(0) = 0^2 - 0 - 2 - \sin(0) = -2 < 0$.Поскольку функция $h(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(-1, 0)$, то на этом интервале существует корень $x_1$.

При $x=2$: $h(2) = 2^2 - 2 - 2 - \sin(2) = -\sin(2) < 0$ (так как $2 \in (0, \pi)$).При $x=3$: $h(3) = 3^2 - 3 - 2 - \sin(3) = 4 - \sin(3) > 0$ (так как $\sin(3) \approx 0.14 < 4$).Поскольку функция $h(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(2, 3)$, то на этом интервале существует корень $x_2$.

Таким образом, искомая область — это множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих системе неравенств:$x_1 \le x \le x_2$ и $x^2 - x \le y \le 2 + \sin x$,где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - x - 2 = \sin x$.Область представляет собой конечную фигуру, ограниченную снизу дугой параболы, а сверху — фрагментом синусоиды.

Ответ: Искомая область есть множество точек $(x, y)$, удовлетворяющих неравенствам $x_1 \le x \le x_2$ и $x^2 - x \le y \le 2 + \sin x$, где $x_1$ и $x_2$ — это абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 2 + \sin x$ и $y = x^2 - x$. Эта область является конечной фигурой, ограниченной снизу параболой $y=x^2-x$ и сверху синусоидой $y=2+\sin x$.

2) $y = \cos x + 1$ и $y = \sqrt{4-x}$

Проанализируем данные функции.

Функция $y_1 = \cos x + 1$ — это косинусоида, смещенная на 1 вверх. Область определения — все действительные числа. Область значений — отрезок $[0, 2]$. Функция периодическая с периодом $2\pi$.

Функция $y_2 = \sqrt{4-x}$ — это ветвь параболы. Область определения: $4-x \ge 0$, то есть $x \le 4$. Область значений: $y \ge 0$. График начинается в точке $(4, 0)$ и уходит влево и вверх.

Для нахождения области, ограниченной графиками, найдем их точки пересечения, решив уравнение $y_1 = y_2$:$\cos x + 1 = \sqrt{4-x}$Для существования решения необходимо, чтобы $x \le 4$ (из области определения $y_2$) и $\sqrt{4-x} \le 2$ (так как $y_1 \le 2$). Последнее неравенство дает $4-x \le 4$, то есть $x \ge 0$. Таким образом, все точки пересечения лежат на отрезке $[0, 4]$.

Проверим концы отрезка:При $x=0$: $y_1(0) = \cos 0 + 1 = 2$, $y_2(0) = \sqrt{4-0} = 2$. Точка $(0, 2)$ является точкой пересечения.

Помимо точки $x=0$, существуют и другие точки пересечения. Обозначим $h(x) = \cos x + 1 - \sqrt{4-x}$. Мы нашли, что $h(0) = 0$.Можно показать, что для малых $x>0$ выполняется $h(x)>0$.Рассмотрим значение в точке $x=\pi$:$h(\pi) = \cos \pi + 1 - \sqrt{4-\pi} = -1 + 1 - \sqrt{4-\pi} = -\sqrt{4-\pi} < 0$.Поскольку $h(x)$ непрерывна и меняет знак на интервале $(0, \pi)$, то на этом интервале есть корень $x_1$.Рассмотрим значение в точке $x=4$:$h(4) = \cos 4 + 1 - \sqrt{4-4} = \cos 4 + 1 \approx -0.65 + 1 = 0.35 > 0$.Поскольку $h(\pi) < 0$ и $h(4) > 0$, на интервале $(\pi, 4)$ есть еще один корень $x_2$.

Таким образом, графики пересекаются в трех точках с абсциссами $x=0$, $x=x_1$ и $x=x_2$. Это приводит к образованию двух отдельных конечных областей, ограниченных данными кривыми.

Область 1: на отрезке $[0, x_1]$. На этом интервале $\cos x + 1 \ge \sqrt{4-x}$. Эта область определяется системой неравенств:$\{ 0 \le x \le x_1, \sqrt{4-x} \le y \le \cos x + 1\}$

Область 2: на отрезке $[x_1, x_2]$. На этом интервале $\sqrt{4-x} \ge \cos x + 1$. Эта область определяется системой неравенств:$\{ x_1 \le x \le x_2, \cos x + 1 \le y \le \sqrt{4-x}\}$

Хотя в условии задачи говорится об "области" в единственном числе, анализ показывает наличие двух таких областей.

Ответ: Существуют две конечные области, ограниченные данными графиками. Первая область определяется неравенствами $0 \le x \le x_1$ и $\sqrt{4-x} \le y \le \cos x + 1$. Вторая область определяется неравенствами $x_1 \le x \le x_2$ и $\cos x + 1 \le y \le \sqrt{4-x}$. Здесь $x_1 \in (0, \pi)$ и $x_2 \in (\pi, 4)$ — ненулевые корни уравнения $\cos x + 1 = \sqrt{4-x}$.