Номер 5.2, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.2. Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = (x - 2)(2x - 3)$, $y = 0$;

2) $y = (3x + 2)(x - 1)$, $y = 0?$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (x - 2)(2x - 3)$ и $y = 0$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого приравняем уравнения линий, чтобы найти их точки пересечения: $(x - 2)(2x - 3) = 0$. Корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1.5$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Функция $y = (x - 2)(2x - 3) = 2x^2 - 7x + 6$ является параболой с ветвями, направленными вверх. На интервале $(1.5, 2)$ значения функции отрицательны, поэтому фигура находится под осью Ox.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле криволинейной трапеции: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

В нашем случае: $S = \int_{1.5}^{2} |2x^2 - 7x + 6| dx$. Поскольку на данном интервале функция отрицательна, $S = \int_{1.5}^{2} -(2x^2 - 7x + 6) dx = \int_{1.5}^{2} (-2x^2 + 7x - 6) dx$.

Для удобства вычислений можно вычислить интеграл от исходной функции, а затем взять его модуль.

$S = |\int_{1.5}^{2} (2x^2 - 7x + 6) dx|$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 2x^2 - 7x + 6$: $F(x) = \int (2x^2 - 7x + 6)dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 6x$.

Теперь вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{1.5}^{2} (2x^2 - 7x + 6)dx = F(2) - F(1.5) = \left(\frac{2 \cdot 2^3}{3} - \frac{7 \cdot 2^2}{2} + 6 \cdot 2\right) - \left(\frac{2 \cdot (1.5)^3}{3} - \frac{7 \cdot (1.5)^2}{2} + 6 \cdot 1.5\right) = \left(\frac{16}{3} - 14 + 12\right) - \left(\frac{2 \cdot (3/2)^3}{3} - \frac{7 \cdot (3/2)^2}{2} + 9\right) = \left(\frac{16}{3} - 2\right) - \left(\frac{2 \cdot 27/8}{3} - \frac{7 \cdot 9/4}{2} + 9\right) = \frac{10}{3} - \left(\frac{9}{4} - \frac{63}{8} + 9\right) = \frac{10}{3} - \left(\frac{18-63+72}{8}\right) = \frac{10}{3} - \frac{27}{8} = \frac{80 - 81}{24} = -\frac{1}{24}$.

Площадь является абсолютным значением этого результата: $S = |-\frac{1}{24}| = \frac{1}{24}$.

Ответ: $\frac{1}{24}$.

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (3x + 2)(x - 1)$ и $y = 0$, поступим аналогично предыдущему пункту.

Сначала найдем точки пересечения графика функции с осью Ox, решив уравнение $(3x + 2)(x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$. Это пределы интегрирования.

Раскроем скобки: $y = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. На интервале $(-\frac{2}{3}, 1)$ значения функции отрицательны, следовательно, фигура расположена под осью Ox.

Площадь $S$ вычисляется как абсолютное значение определенного интеграла: $S = |\int_{-2/3}^{1} (3x^2 - x - 2) dx|$.

Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 - x - 2$: $F(x) = \int (3x^2 - x - 2)dx = \frac{3x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x = x^3 - \frac{x^2}{2} - 2x$.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2/3}^{1} (3x^2 - x - 2)dx = F(1) - F(-2/3) = \left(1^3 - \frac{1^2}{2} - 2 \cdot 1\right) - \left((-\frac{2}{3})^3 - \frac{(-\frac{2}{3})^2}{2} - 2(-\frac{2}{3})\right) = \left(1 - \frac{1}{2} - 2\right) - \left(-\frac{8}{27} - \frac{4/9}{2} + \frac{4}{3}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{8}{27} - \frac{2}{9} + \frac{4}{3}\right) = -\frac{3}{2} - \left(\frac{-8 - 6 + 36}{27}\right) = -\frac{3}{2} - \frac{22}{27} = \frac{-81 - 44}{54} = -\frac{125}{54}$.

Площадь равна модулю полученного значения: $S = |-\frac{125}{54}| = \frac{125}{54}$.

Ответ: $\frac{125}{54}$.