Номер 5.7, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.7. 1) Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = x^2$ от точки $x = 0$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

2) Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = x^2$ от точки $x = -2$ до точки $x = 2$ вокруг оси ординат.

1) Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси абсцисс (оси Ox), вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае функция $f(x) = x^2$, а пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 2$.

Подставим наши данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^4 dx$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$

Ответ: $\frac{32\pi}{5}$.

2) Тело вращения образуется вращением вокруг оси ординат (оси Oy) фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y=4$. Значение $y=4$ получается из уравнения параболы при $x = \pm 2$.

Для вычисления объема будем использовать метод колец (шайб). Объем тела вращения вокруг оси Oy вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{c}^{d} (R(y)^2 - r(y)^2) dy$

где $R(y)$ — внешний радиус, а $r(y)$ — внутренний радиус кольца на высоте $y$.

Вращаемая фигура ограничена прямыми $x=-2$ и $x=2$ и параболой $y=x^2$. Таким образом, внешний радиус постоянен и равен $R(y) = 2$. Внутренний радиус определяется параболой. Выразим $x$ через $y$: из $y=x^2$ следует $x=\sqrt{y}$ (для $x \ge 0$). Таким образом, $r(y) = \sqrt{y}$.

Пределы интегрирования по оси $y$ будут от $c=0$ (вершина параболы) до $d=4$.

Подставляем все в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{4} (2^2 - (\sqrt{y})^2) dy = \pi \int_{0}^{4} (4 - y) dy$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ 4y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) \right)$

$V = \pi \left( 16 - \frac{16}{2} \right) = \pi (16 - 8) = 8\pi$

Ответ: $8\pi$.