Номер 5.11, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.11. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{1}{8}x^3$, $y = 0.5x$;

2) $y = -\frac{1}{4}x^3$, $y = -x$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = 0.5x$, сначала найдем точки пересечения этих линий. Для этого приравняем выражения для $y$:

$\frac{1}{8}x^2 = 0.5x$

$\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{2}x = 0$

$x(\frac{1}{8}x - \frac{1}{2}) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 4)$. Возьмем пробную точку, например, $x=2$:

Для $y = 0.5x$: $y(2) = 0.5 \cdot 2 = 1$.

Для $y = \frac{1}{8}x^2$: $y(2) = \frac{1}{8} \cdot 2^2 = \frac{4}{8} = 0.5$.

Так как $1 > 0.5$, на интервале $(0, 4)$ график прямой $y = 0.5x$ лежит выше графика параболы $y = \frac{1}{8}x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_0^4 (0.5x - \frac{1}{8}x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_0^4 (\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2) dx = \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \left[ \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{24} \right]_0^4$

$S = \left(\frac{4^2}{4} - \frac{4^3}{24}\right) - \left(\frac{0^2}{4} - \frac{0^3}{24}\right) = \left(\frac{16}{4} - \frac{64}{24}\right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{4}x^3$ и $y = -x$. Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв выражения для $y$:

$-\frac{1}{4}x^3 = -x$

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x-2)(x+2) = 0$

Получаем три точки пересечения: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Это означает, что фигура состоит из двух частей, ограниченных промежутками $[-2, 0]$ и $[0, 2]$. Общая площадь будет суммой площадей этих двух частей.

Найдем площадь на интервале $[-2, 0]$ ($S_1$).

Определим, какая функция больше на этом интервале. Возьмем пробную точку $x = -1$:

Для $y = -x$: $y(-1) = -(-1) = 1$.

Для $y = -\frac{1}{4}x^3$: $y(-1) = -\frac{1}{4}(-1)^3 = \frac{1}{4}$.

Так как $1 > \frac{1}{4}$, на интервале $[-2, 0]$ прямая $y=-x$ лежит выше графика функции $y = -\frac{1}{4}x^3$.

$S_1 = \int_{-2}^0 \left(-x - \left(-\frac{1}{4}x^3\right)\right) dx = \int_{-2}^0 \left(-x + \frac{1}{4}x^3\right) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} \right]_{-2}^0$

$S_1 = \left(-\frac{0^2}{2} + \frac{0^4}{16}\right) - \left(-\frac{(-2)^2}{2} + \frac{(-2)^4}{16}\right) = 0 - \left(-\frac{4}{2} + \frac{16}{16}\right) = -(-2 + 1) = 1$.

Найдем площадь на интервале $[0, 2]$ ($S_2$).

Определим, какая функция больше на этом интервале. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для $y = -x$: $y(1) = -1$.

Для $y = -\frac{1}{4}x^3$: $y(1) = -\frac{1}{4}(1)^3 = -\frac{1}{4}$.

Так как $-\frac{1}{4} > -1$, на интервале $[0, 2]$ график функции $y = -\frac{1}{4}x^3$ лежит выше прямой $y=-x$.

$S_2 = \int_{0}^2 \left(-\frac{1}{4}x^3 - (-x)\right) dx = \int_{0}^2 \left(x - \frac{1}{4}x^3\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{16} \right]_{0}^2$

$S_2 = \left(\frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{16}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{16}\right) = \left(\frac{4}{2} - \frac{16}{16}\right) - 0 = 2 - 1 = 1$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:

$S = S_1 + S_2 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $S = 2$.