Номер 5.4, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осями координат:

1) $f(x) = -x^2 + 4x - 4$;

2) $f(x) = -x^2 + 6x - 9$.

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осями координат, необходимо сначала определить границы этой фигуры. Фигура ограничена графиком функции $f(x) = -x^2 + 4x - 4$ и осями координат, то есть прямыми $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

Сначала найдем точки пересечения графика с осями координат.

При $x=0$, значение функции $y = f(0) = -0^2 + 4(0) - 4 = -4$. Таким образом, график пересекает ось OY в точке $(0, -4)$.

При $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 4x - 4 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить $x^2 - 4x + 4 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x-2)^2 = 0$. Решением уравнения является $x=2$. Это означает, что график функции касается оси OX в одной точке $(2, 0)$, которая также является вершиной параболы.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена кривой $y = -x^2 + 4x - 4$, осью OY ($x=0$) и осью OX ($y=0$). Пределы интегрирования по оси X, таким образом, будут от $0$ до $2$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится на оси OX, на всем отрезке $[0, 2]$ функция принимает неположительные значения, то есть $f(x) \le 0$.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной под осью OX, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$. Так как $f(x) \le 0$ на $[0, 2]$, то $|f(x)| = -f(x)$, и формула принимает вид $S = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Подставляем нашу функцию и пределы интегрирования $a=0$, $b=2$:

$S = -\int_{0}^{2} (-x^2 + 4x - 4) dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$.

Для вычисления определенного интеграла найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $x^2 - 4x + 4$:

$F(x) = \int (x^2 - 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = F(2) - F(0) = \left(\frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 4 \cdot 0\right) = \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 + 6x - 9$. Фигура, площадь которой необходимо найти, ограничена графиком этой функции и осями координат ($x=0$ и $y=0$).

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

При $x=0$, $y = f(0) = -0^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -9)$.

При $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 6x - 9 = 0$. Умножим на $-1$: $x^2 - 6x + 9 = 0$. Это полный квадрат: $(x-3)^2 = 0$. Отсюда $x=3$. График касается оси OX в точке $(3, 0)$, которая является вершиной параболы.

Фигура ограничена линиями $y = -x^2 + 6x - 9$, $x=0$ и $y=0$. Пределы интегрирования по оси OX — от $0$ до $3$. На этом отрезке, аналогично предыдущему пункту, функция $f(x) \le 0$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Подставляем нашу функцию и пределы интегрирования $a=0$, $b=3$:

$S = -\int_{0}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx = \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx$.

Найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $x^2 - 6x + 9$:

$F(x) = \int (x^2 - 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 9 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 9 \cdot 0\right) = \left(\frac{27}{3} - 3 \cdot 9 + 27\right) - 0 = (9 - 27 + 27) - 0 = 9$.

Ответ: $9$.