Страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) $y = x^2 - 4x + 4, y = 0, x = 0;$

2) $y = x^2 + 6x + 9, y = 0, x = 0;$

3) $y = 4x^2 + 12x + 9, y = 0, x = 0;$

4) $y = 9x^2 - 6x + 1, y = 0, x = 0.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 4$, $y=0$ и $x=0$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала найдем пределы интегрирования. Одна граница задана прямой $x=0$. Другую границу найдем из пересечения параболы $y = x^2 - 4x + 4$ с осью абсцисс ($y=0$). Уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$ является полным квадратом $(x-2)^2 = 0$, откуда корень $x=2$. Следовательно, интегрирование будет производиться по отрезку $[0, 2]$. Так как функция $y = (x-2)^2 \ge 0$ на всем отрезке, площадь $S$ равна интегралу: $S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2)) - 0 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$.Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 6x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Найдем пределы интегрирования. Одна граница - $x=0$. Точку пересечения параболы с осью $y=0$ найдем из уравнения $x^2 + 6x + 9 = 0$, или $(x+3)^2 = 0$, откуда $x=-3$. Интегрирование проводится по отрезку $[-3, 0]$. Функция $y=(x+3)^2 \ge 0$ на этом отрезке. Площадь $S$ равна $S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{-3}^{0} = 0 - (\frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 + 9(-3)) = -(\frac{-27}{3} + 27 - 27) = -(-9) = 9$.Ответ: 9.

3) Фигура ограничена линиями $y = 4x^2 + 12x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Найдем пределы интегрирования. Одна граница - $x=0$. Точку пересечения параболы с осью $y=0$ найдем из уравнения $4x^2 + 12x + 9 = 0$, или $(2x+3)^2 = 0$, откуда $x=-\frac{3}{2}$. Интегрирование проводится по отрезку $[-\frac{3}{2}, 0]$. Функция $y=(2x+3)^2 \ge 0$ на этом отрезке. Площадь $S$ равна $S = \int_{-3/2}^{0} (4x^2 + 12x + 9) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x \right]_{-3/2}^{0} = 0 - (\frac{4}{3}(-\frac{3}{2})^3 + 6(-\frac{3}{2})^2 + 9(-\frac{3}{2})) = -(\frac{4}{3}(-\frac{27}{8}) + 6(\frac{9}{4}) - \frac{27}{2}) = -(-\frac{9}{2} + \frac{27}{2} - \frac{27}{2}) = \frac{9}{2}$.Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = 9x^2 - 6x + 1$, $y=0$ и $x=0$. Найдем пределы интегрирования. Одна граница - $x=0$. Точку пересечения параболы с осью $y=0$ найдем из уравнения $9x^2 - 6x + 1 = 0$, или $(3x-1)^2 = 0$, откуда $x=\frac{1}{3}$. Интегрирование проводится по отрезку $[0, \frac{1}{3}]$. Функция $y=(3x-1)^2 \ge 0$ на этом отрезке. Площадь $S$ равна $S = \int_{0}^{1/3} (9x^2 - 6x + 1) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ 3x^3 - 3x^2 + x \right]_{0}^{1/3} = (3(\frac{1}{3})^3 - 3(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}) - 0 = 3(\frac{1}{27}) - 3(\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.Ответ: $\frac{1}{9}$.

5.4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осями координат:

1) $f(x) = -x^2 + 4x - 4$;

2) $f(x) = -x^2 + 6x - 9$.

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ и осями координат, необходимо сначала определить границы этой фигуры. Фигура ограничена графиком функции $f(x) = -x^2 + 4x - 4$ и осями координат, то есть прямыми $x=0$ (ось OY) и $y=0$ (ось OX).

Сначала найдем точки пересечения графика с осями координат.

При $x=0$, значение функции $y = f(0) = -0^2 + 4(0) - 4 = -4$. Таким образом, график пересекает ось OY в точке $(0, -4)$.

При $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 4x - 4 = 0$. Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить $x^2 - 4x + 4 = 0$. Это выражение является полным квадратом: $(x-2)^2 = 0$. Решением уравнения является $x=2$. Это означает, что график функции касается оси OX в одной точке $(2, 0)$, которая также является вершиной параболы.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена кривой $y = -x^2 + 4x - 4$, осью OY ($x=0$) и осью OX ($y=0$). Пределы интегрирования по оси X, таким образом, будут от $0$ до $2$.

Поскольку ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится на оси OX, на всем отрезке $[0, 2]$ функция принимает неположительные значения, то есть $f(x) \le 0$.

Площадь криволинейной трапеции, расположенной под осью OX, вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$. Так как $f(x) \le 0$ на $[0, 2]$, то $|f(x)| = -f(x)$, и формула принимает вид $S = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Подставляем нашу функцию и пределы интегрирования $a=0$, $b=2$:

$S = -\int_{0}^{2} (-x^2 + 4x - 4) dx = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$.

Для вычисления определенного интеграла найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $x^2 - 4x + 4$:

$F(x) = \int (x^2 - 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = F(2) - F(0) = \left(\frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 4 \cdot 0\right) = \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = -x^2 + 6x - 9$. Фигура, площадь которой необходимо найти, ограничена графиком этой функции и осями координат ($x=0$ и $y=0$).

Найдем точки пересечения графика с осями координат.

При $x=0$, $y = f(0) = -0^2 + 6(0) - 9 = -9$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -9)$.

При $y=0$, получаем уравнение $-x^2 + 6x - 9 = 0$. Умножим на $-1$: $x^2 - 6x + 9 = 0$. Это полный квадрат: $(x-3)^2 = 0$. Отсюда $x=3$. График касается оси OX в точке $(3, 0)$, которая является вершиной параболы.

Фигура ограничена линиями $y = -x^2 + 6x - 9$, $x=0$ и $y=0$. Пределы интегрирования по оси OX — от $0$ до $3$. На этом отрезке, аналогично предыдущему пункту, функция $f(x) \le 0$.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = -\int_{a}^{b} f(x) dx$.

Подставляем нашу функцию и пределы интегрирования $a=0$, $b=3$:

$S = -\int_{0}^{3} (-x^2 + 6x - 9) dx = \int_{0}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx$.

Найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $x^2 - 6x + 9$:

$F(x) = \int (x^2 - 6x + 9) dx = \frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 9x = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$:

$S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{3} - 3(3^2) + 9 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{3} - 3(0^2) + 9 \cdot 0\right) = \left(\frac{27}{3} - 3 \cdot 9 + 27\right) - 0 = (9 - 27 + 27) - 0 = 9$.

Ответ: $9$.

5.5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = 2x^2$, $y = 4x;$

2) $y = x^2$, $y = -2x.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2x^2$ и $y = 4x$, сначала найдем точки пересечения этих линий, приравняв их уравнения:

$2x^2 = 4x$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем абсциссы точек пересечения $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Это будут пределы интегрирования.

Далее необходимо определить, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 2)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x=1$:

Для параболы $y = 2x^2$: $y(1) = 2(1)^2 = 2$.

Для прямой $y = 4x$: $y(1) = 4(1) = 4$.

Так как $4 > 2$, на интервале $(0, 2)$ график прямой $y = 4x$ находится выше графика параболы $y = 2x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций на отрезке $[0, 2]$:

$S = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left( 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right) \Big|_{0}^{2} = \left( 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \Big|_{0}^{2}$

$S = \left( 2(2)^2 - \frac{2}{3}(2)^3 \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right)$

$S = \left( 2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8 \right) - 0 = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

2) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = -2x$, также найдем их точки пересечения:

$x^2 = -2x$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x + 2) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 0$. Это наши пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(-2, 0)$. Возьмем для проверки точку $x=-1$:

Для параболы $y = x^2$: $y(-1) = (-1)^2 = 1$.

Для прямой $y = -2x$: $y(-1) = -2(-1) = 2$.

Так как $2 > 1$, на интервале $(-2, 0)$ график прямой $y = -2x$ находится выше графика параболы $y = x^2$.

Площадь фигуры равна интегралу от разности верхней и нижней функций на отрезке $[-2, 0]$:

$S = \int_{-2}^{0} (-2x - x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left( -2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^{0} = \left( -x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \Big|_{-2}^{0}$

$S = \left( -0^2 - \frac{0^3}{3} \right) - \left( -(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3} \right)$

$S = 0 - \left( -4 - \frac{-8}{3} \right) = - \left( -4 + \frac{8}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

Ответ: $\frac{4}{3}$

5.6. Постройте фигуру, ограниченную линиями:

1) $y = \sin x, y = x + 1, x = 0, x = 2$ и вычислите ее площадь, учитывая $\cos 2 \approx -0,41$;

2) $y = \cos x, y = 3 - x, x = 0, x = -1$ и вычислите ее площадь, учитывая $\sin 1 \approx 0,84$.

1) Фигура ограничена графиками функций $y = \sin x$ (синусоида), $y = x + 1$ (прямая), и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=2$. Для вычисления площади искомой фигуры необходимо найти определенный интеграл разности функций, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Сравним функции $f(x) = x+1$ и $g(x) = \sin x$ на интервале $[0, 2]$. Рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x) = x + 1 - \sin x$. Найдем производную этой разности: $h'(x) = (x + 1 - \sin x)' = 1 - \cos x$. Поскольку значение $\cos x$ никогда не превышает 1, производная $h'(x) \geq 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является неубывающей. В точке $x=0$ значение разности равно $h(0) = 0 + 1 - \sin 0 = 1 > 0$. Так как функция $h(x)$ неубывающая и в начальной точке интервала положительна, то $h(x) > 0$ на всем интервале $[0, 2]$. Следовательно, график функции $y = x+1$ лежит выше графика $y = \sin x$ на данном интервале. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$ В нашем случае $a=0$, $b=2$, $f(x) = x+1$, $g(x) = \sin x$. $S = \int_{0}^{2} (x + 1 - \sin x) dx$ Вычисляем интеграл: $S = \left( \frac{x^2}{2} + x - (-\cos x) \right) \Big|_0^2 = \left( \frac{x^2}{2} + x + \cos x \right) \Big|_0^2$ Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \left( \frac{2^2}{2} + 2 + \cos 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 + \cos 0 \right)$ $S = \left( \frac{4}{2} + 2 + \cos 2 \right) - (0 + 0 + 1) = (2 + 2 + \cos 2) - 1 = 3 + \cos 2$ Используя данное в условии приближение $\cos 2 \approx -0,41$, получаем: $S \approx 3 + (-0,41) = 2,59$.

Ответ: $S = 3 + \cos 2 \approx 2,59$.

2) Фигура ограничена графиками функций $y = \cos x$ (косинусоида), $y = 3 - x$ (прямая), и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=-1$. Интервал интегрирования от $a=-1$ до $b=0$. Сравним функции $f(x) = 3-x$ и $g(x) = \cos x$ на интервале $[-1, 0]$. Рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x) = 3 - x - \cos x$. Найдем производную этой разности: $h'(x) = (3 - x - \cos x)' = -1 - (-\sin x) = \sin x - 1$. Поскольку значение $\sin x$ никогда не превышает 1, производная $h'(x) \leq 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является невозрастающей. Найдем значение $h(x)$ в правой точке интервала, $x=0$: $h(0) = 3 - 0 - \cos 0 = 3 - 1 = 2$. Так как функция $h(x)$ невозрастающая, ее наименьшее значение на интервале $[-1, 0]$ равно $h(0) = 2$. Следовательно, $h(x) > 0$ на всем интервале $[-1, 0]$, и график функции $y=3-x$ лежит выше графика $y=\cos x$. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{-1}^{0} ((3-x) - \cos x) dx$ Вычисляем интеграл: $S = \left( 3x - \frac{x^2}{2} - \sin x \right) \Big|_{-1}^0$ Подставляем пределы интегрирования: $S = \left( 3 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} - \sin 0 \right) - \left( 3 \cdot (-1) - \frac{(-1)^2}{2} - \sin(-1) \right)$ Так как $\sin(-1) = -\sin 1$, получаем: $S = (0 - 0 - 0) - \left( -3 - \frac{1}{2} - (-\sin 1) \right) = 0 - \left( -3,5 + \sin 1 \right) = 3,5 - \sin 1$ Используя данное в условии приближение $\sin 1 \approx 0,84$, получаем: $S \approx 3,5 - 0,84 = 2,66$.

Ответ: $S = 3,5 - \sin 1 \approx 2,66$.

5.7. 1) Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = x^2$ от точки $x = 0$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

2) Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = x^2$ от точки $x = -2$ до точки $x = 2$ вокруг оси ординат.

1) Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$ (где $f(x) \ge 0$), осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси абсцисс (оси Ox), вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае функция $f(x) = x^2$, а пределы интегрирования от $a = 0$ до $b = 2$.

Подставим наши данные в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{2} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{2} x^4 dx$

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$

Ответ: $\frac{32\pi}{5}$.

2) Тело вращения образуется вращением вокруг оси ординат (оси Oy) фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y=4$. Значение $y=4$ получается из уравнения параболы при $x = \pm 2$.

Для вычисления объема будем использовать метод колец (шайб). Объем тела вращения вокруг оси Oy вычисляется по формуле:

$V = \pi \int_{c}^{d} (R(y)^2 - r(y)^2) dy$

где $R(y)$ — внешний радиус, а $r(y)$ — внутренний радиус кольца на высоте $y$.

Вращаемая фигура ограничена прямыми $x=-2$ и $x=2$ и параболой $y=x^2$. Таким образом, внешний радиус постоянен и равен $R(y) = 2$. Внутренний радиус определяется параболой. Выразим $x$ через $y$: из $y=x^2$ следует $x=\sqrt{y}$ (для $x \ge 0$). Таким образом, $r(y) = \sqrt{y}$.

Пределы интегрирования по оси $y$ будут от $c=0$ (вершина параболы) до $d=4$.

Подставляем все в формулу:

$V = \pi \int_{0}^{4} (2^2 - (\sqrt{y})^2) dy = \pi \int_{0}^{4} (4 - y) dy$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[ 4y - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = \pi \left( (4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2}) - (4 \cdot 0 - \frac{0^2}{2}) \right)$

$V = \pi \left( 16 - \frac{16}{2} \right) = \pi (16 - 8) = 8\pi$

Ответ: $8\pi$.

5.8. Тело падает с некоторой высоты. Его скорость меняется по закону:

$v = 9,8t + 0,01t^2$

Определите, с какой высоты падает тело, если время его падения составляет: $t = 4 c$.

Для того чтобы определить высоту, с которой падает тело, необходимо найти путь, который оно прошло за заданное время. В физике путь (в данном случае высота h) является интегралом от скорости v по времени t. Поскольку тело падает, мы будем считать, что начальный момент времени $t_1 = 0$ с, а конечный момент времени по условию задачи $t_2 = 4$ с. Начальная высота соответствует пути, пройденному за это время.

Математически это записывается как определенный интеграл от функции скорости $v(t)$ в пределах от 0 до 4:

$h = \int_{0}^{4} v(t) dt$

Подставим данное в условии выражение для скорости:

$h = \int_{0}^{4} (9,8t + 0,01t^2) dt$

Для вычисления интеграла воспользуемся свойством линейности и табличным интегралом для степенной функции $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$:

$h = \left[ 9,8 \frac{t^2}{2} + 0,01 \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 4,9t^2 + \frac{0,01}{3}t^3 \right]_{0}^{4}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив верхний и нижний пределы интегрирования:

$h = \left( 4,9 \cdot (4)^2 + \frac{0,01}{3} \cdot (4)^3 \right) - \left( 4,9 \cdot (0)^2 + \frac{0,01}{3} \cdot (0)^3 \right)$

Выполним вычисления:

$h = \left( 4,9 \cdot 16 + \frac{0,01}{3} \cdot 64 \right) - 0$

$h = 78,4 + \frac{0,64}{3}$

$h \approx 78,4 + 0,2133...$

$h \approx 78,6133...$ м

Округлим результат до сотых.

Ответ: высота, с которой падает тело, составляет примерно $78,61$ м.

5.9. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками заданных функций:

1) $y = x^2 - 4x - 4, y = -x;$

2) $y = 3x^2, y = 2x.$

1)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = x^2 - 4x - 4$ и $y = -x$, сначала найдем точки их пересечения. Для этого приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 4x - 4 = -x$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$x_1 = -1$, $x_2 = 4$

Эти значения являются пределами интегрирования. Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 4)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = 0$.

Для $y = x^2 - 4x - 4$: $y(0) = 0^2 - 4(0) - 4 = -4$.

Для $y = -x$: $y(0) = -0 = 0$.

Поскольку $0 > -4$, на интервале $[-1, 4]$ график функции $y = -x$ лежит выше графика функции $y = x^2 - 4x - 4$.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{4} ((-x) - (x^2 - 4x - 4)) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4 \cdot (-1) \right) = $

$= \left( -\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 24 + 16 \right) - \left( \frac{2+9-24}{6} \right) = $

$= \left( -\frac{64}{3} + 40 \right) - \left( -\frac{13}{6} \right) = \frac{-64+120}{3} + \frac{13}{6} = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}$

Ответ: $\frac{125}{6}$

2)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 3x^2$ и $y = 2x$, найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:

$3x^2 = 2x$

$3x^2 - 2x = 0$

$x(3x - 2) = 0$

Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$. Это наши пределы интегрирования.

Определим, какая из функций больше на интервале $(0, \frac{2}{3})$. Возьмем точку из этого интервала, например, $x = \frac{1}{3}$.

Для $y = 3x^2$: $y(\frac{1}{3}) = 3(\frac{1}{3})^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$.

Для $y = 2x$: $y(\frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Поскольку $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, на интервале $[0, \frac{2}{3}]$ график функции $y = 2x$ лежит выше графика функции $y = 3x^2$.

Площадь фигуры $S$ равна интегралу от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{2/3} (2x - 3x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left. \left( \frac{2x^2}{2} - \frac{3x^3}{3} \right) \right|_{0}^{2/3} = \left. \left( x^2 - x^3 \right) \right|_{0}^{2/3} = \left( \left(\frac{2}{3}\right)^2 - \left(\frac{2}{3}\right)^3 \right) - (0^2 - 0^3) = $

$= \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$

Ответ: $\frac{4}{27}$

5.10. 1) Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4x - x^2$ и прямой, проходящей через точки A (4; 0) и B (0; 4).

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ $(x < 0)$, осью абсцисс и прямой, проходящей через точки (-3; 0) и (0; 4,5).

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболой и прямой, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки $A(4; 0)$ и $B(0; 4)$.

2. Найти точки пересечения параболы и прямой, чтобы определить пределы интегрирования.

3. Вычислить площадь как определенный интеграл разности функций.

Шаг 1: Уравнение прямой.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$.

Подставим координаты точки $B(0; 4)$: $4 = k \cdot 0 + b$, откуда $b = 4$.

Теперь уравнение имеет вид $y = kx + 4$. Подставим координаты точки $A(4; 0)$: $0 = k \cdot 4 + 4$, откуда $4k = -4$ и $k = -1$.

Итак, уравнение прямой: $y = -x + 4$.

Шаг 2: Точки пересечения.

Приравняем уравнения параболы $y = 4x - x^2$ и прямой $y = -x + 4$:

$4x - x^2 = -x + 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Это и будут пределы интегрирования.

Шаг 3: Вычисление площади.

На интервале $[1; 4]$ определим, какая из функций находится выше. Возьмем пробную точку, например, $x=2$:

Для параболы: $y(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Для прямой: $y(2) = -2 + 4 = 2$.

Так как $4 > 2$, парабола $y = 4x - x^2$ является верхней границей фигуры, а прямая $y = -x + 4$ — нижней.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{ниж}) dx$

$S = \int_{1}^{4} ((4x - x^2) - (-x + 4)) dx = \int_{1}^{4} (4x - x^2 + x - 4) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{1}^{4} = \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 \right) - \left( \frac{-2 + 15 - 24}{6} \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 24 \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \left( \frac{-64 + 72}{3} \right) + \frac{11}{6} = \frac{8}{3} + \frac{11}{6} = \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: $4.5$

2)

Фигура ограничена параболой $y = 3x^2$ при $x < 0$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой, проходящей через точки $(-3; 0)$ и $(0; 4.5)$.

Шаг 1: Уравнение прямой.

Найдем уравнение прямой $y = kx + b$.

Из точки $(0; 4.5)$ следует, что $b = 4.5$.

Подставим точку $(-3; 0)$: $0 = k(-3) + 4.5$, откуда $3k = 4.5$ и $k = 1.5$.

Уравнение прямой: $y = 1.5x + 4.5$.

Шаг 2: Анализ фигуры и нахождение точек пересечения.

Найдем точки пересечения заданных линий:

• Прямая и ось абсцисс ($y=0$): $1.5x + 4.5 = 0 \Rightarrow x = -3$. Точка $(-3; 0)$.

• Парабола и ось абсцисс ($y=0$): $3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Точка $(0; 0)$.

• Парабола и прямая: $3x^2 = 1.5x + 4.5 \Rightarrow 3x^2 - 1.5x - 4.5 = 0$. Умножим на 2: $6x^2 - 3x - 9 = 0$. Разделим на 3: $2x^2 - x - 3 = 0$.

Корни уравнения: $x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4}$.

Получаем $x_1 = 1.5$ и $x_2 = -1$. Согласно условию $x < 0$, нас интересует корень $x = -1$. Точка пересечения $(-1; 3)$.

Шаг 3: Вычисление площади.

Вершинами искомой фигуры являются точки пересечения: $(-3; 0)$, $(0; 0)$ и $(-1; 3)$. Фигура ограничена снизу осью абсцисс, а сверху — отрезком прямой от $x=-3$ до $x=-1$ и дугой параболы от $x=-1$ до $x=0$.

Площадь такой фигуры можно найти как сумму площадей двух криволинейных трапеций:

1. Площадь $S_1$ под прямой $y = 1.5x + 4.5$ на отрезке $[-3; -1]$.

2. Площадь $S_2$ под параболой $y = 3x^2$ на отрезке $[-1; 0]$.

$S_1 = \int_{-3}^{-1} (1.5x + 4.5) dx = \left[ \frac{1.5x^2}{2} + 4.5x \right]_{-3}^{-1}$

$S_1 = \left( \frac{1.5(-1)^2}{2} + 4.5(-1) \right) - \left( \frac{1.5(-3)^2}{2} + 4.5(-3) \right)$

$S_1 = (0.75 - 4.5) - (6.75 - 13.5) = -3.75 - (-6.75) = 3$.

(Эта область представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3, его площадь $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$).

$S_2 = \int_{-1}^{0} 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_{-1}^{0} = 0^3 - (-1)^3 = 0 - (-1) = 1$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$

5.11. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \frac{1}{8}x^3$, $y = 0.5x$;

2) $y = -\frac{1}{4}x^3$, $y = -x$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = 0.5x$, сначала найдем точки пересечения этих линий. Для этого приравняем выражения для $y$:

$\frac{1}{8}x^2 = 0.5x$

$\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{2}x = 0$

$x(\frac{1}{8}x - \frac{1}{2}) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это будут пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций принимает большие значения на интервале $(0, 4)$. Возьмем пробную точку, например, $x=2$:

Для $y = 0.5x$: $y(2) = 0.5 \cdot 2 = 1$.

Для $y = \frac{1}{8}x^2$: $y(2) = \frac{1}{8} \cdot 2^2 = \frac{4}{8} = 0.5$.

Так как $1 > 0.5$, на интервале $(0, 4)$ график прямой $y = 0.5x$ лежит выше графика параболы $y = \frac{1}{8}x^2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_0^4 (0.5x - \frac{1}{8}x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_0^4 (\frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2) dx = \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{1}{8} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_0^4 = \left[ \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{24} \right]_0^4$

$S = \left(\frac{4^2}{4} - \frac{4^3}{24}\right) - \left(\frac{0^2}{4} - \frac{0^3}{24}\right) = \left(\frac{16}{4} - \frac{64}{24}\right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -\frac{1}{4}x^3$ и $y = -x$. Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв выражения для $y$:

$-\frac{1}{4}x^3 = -x$

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x-2)(x+2) = 0$

Получаем три точки пересечения: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$. Это означает, что фигура состоит из двух частей, ограниченных промежутками $[-2, 0]$ и $[0, 2]$. Общая площадь будет суммой площадей этих двух частей.

Найдем площадь на интервале $[-2, 0]$ ($S_1$).

Определим, какая функция больше на этом интервале. Возьмем пробную точку $x = -1$:

Для $y = -x$: $y(-1) = -(-1) = 1$.

Для $y = -\frac{1}{4}x^3$: $y(-1) = -\frac{1}{4}(-1)^3 = \frac{1}{4}$.

Так как $1 > \frac{1}{4}$, на интервале $[-2, 0]$ прямая $y=-x$ лежит выше графика функции $y = -\frac{1}{4}x^3$.

$S_1 = \int_{-2}^0 \left(-x - \left(-\frac{1}{4}x^3\right)\right) dx = \int_{-2}^0 \left(-x + \frac{1}{4}x^3\right) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} \right]_{-2}^0$

$S_1 = \left(-\frac{0^2}{2} + \frac{0^4}{16}\right) - \left(-\frac{(-2)^2}{2} + \frac{(-2)^4}{16}\right) = 0 - \left(-\frac{4}{2} + \frac{16}{16}\right) = -(-2 + 1) = 1$.

Найдем площадь на интервале $[0, 2]$ ($S_2$).

Определим, какая функция больше на этом интервале. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для $y = -x$: $y(1) = -1$.

Для $y = -\frac{1}{4}x^3$: $y(1) = -\frac{1}{4}(1)^3 = -\frac{1}{4}$.

Так как $-\frac{1}{4} > -1$, на интервале $[0, 2]$ график функции $y = -\frac{1}{4}x^3$ лежит выше прямой $y=-x$.

$S_2 = \int_{0}^2 \left(-\frac{1}{4}x^3 - (-x)\right) dx = \int_{0}^2 \left(x - \frac{1}{4}x^3\right) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{16} \right]_{0}^2$

$S_2 = \left(\frac{2^2}{2} - \frac{2^4}{16}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{16}\right) = \left(\frac{4}{2} - \frac{16}{16}\right) - 0 = 2 - 1 = 1$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:

$S = S_1 + S_2 = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $S = 2$.

5.12. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой

1) $y = 4x - x^2$;

2) $y = x^2 - 6x$ и прямой, проходящей через вершину параболы и начало координат.

1)

Заданная фигура ограничена параболой $y = 4x - x^2$ и осью абсцисс ($y = 0$), так как в условии не указана другая ограничивающая линия. Площадь такой фигуры можно найти с помощью определенного интеграла.

Сначала найдем пределы интегрирования. Для этого приравняем уравнение параболы к нулю, чтобы найти точки пересечения с осью $x$:

$4x - x^2 = 0$

$x(4 - x) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = 4x - x^2$, $a = 0$ и $b = 4$.

$S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) dx$

Вычислим интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left( 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{4} = \left( 2x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{4}$

Подставим пределы интегрирования:

$S = \left( 2(4)^2 - \frac{4^3}{3} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

$S = \left( 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} \right) - 0 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $S = \frac{32}{3}$

2)

Фигура ограничена параболой $y = x^2 - 6x$ и прямой, проходящей через вершину этой параболы и начало координат.

Сначала найдем координаты вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$. В нашем случае $a = 1$, $b = -6$, $c = 0$.

Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

Подставим $x_v = 3$ в уравнение параболы, чтобы найти координату $y$ вершины:

$y_v = (3)^2 - 6(3) = 9 - 18 = -9$

Итак, вершина параболы находится в точке $V(3, -9)$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через начало координат $O(0, 0)$ и вершину параболы $V(3, -9)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$. Подставим координаты вершины, чтобы найти угловой коэффициент $k$:

$-9 = k \cdot 3 \implies k = -3$

Уравнение прямой: $y = -3x$.

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$, вычисляется как интеграл от разности функций. Пределы интегрирования — это абсциссы точек пересечения этих кривых.

Найдем точки пересечения параболы $y = x^2 - 6x$ и прямой $y = -3x$:

$x^2 - 6x = -3x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это наши пределы интегрирования.

На интервале $(0, 3)$ нужно определить, какая из функций находится выше. Возьмем пробную точку $x = 1$:

Для параболы: $y(1) = 1^2 - 6(1) = -5$.

Для прямой: $y(1) = -3(1) = -3$.

Поскольку $-3 > -5$, на интервале $(0, 3)$ прямая $y = -3x$ лежит выше параболы $y = x^2 - 6x$.

Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{0}^{3} ((-3x) - (x^2 - 6x)) dx = \int_{0}^{3} (-3x - x^2 + 6x) dx = \int_{0}^{3} (3x - x^2) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = \left( 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{0}^{3} = \left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 0 \right)$

$S = \frac{27}{2} - \frac{27}{3} = \frac{27}{2} - 9 = \frac{27 - 18}{2} = \frac{9}{2}$

Ответ: $S = \frac{9}{2}$