Страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.24. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \int_{x}^{x+1} 3t^2 dt$ и прямой $y = 1$.

Для начала найдем явный вид функции $y(x)$, вычислив определенный интеграл. Используем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)$, где $F(t)$ - первообразная для $f(t)$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 3t^2$ есть $F(t) = t^3$.

Тогда:

$y = \int_{x}^{x+1} 3t^2 dt = [t^3]_{x}^{x+1} = (x+1)^3 - x^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$y = (x^3 + 3x^2 \cdot 1 + 3x \cdot 1^2 + 1^3) - x^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - x^3 = 3x^2 + 3x + 1$.

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2 + 3x + 1$ и прямой $y = 1$.

Для нахождения пределов интегрирования найдем точки пересечения этих двух графиков, приравняв их уравнения:

$3x^2 + 3x + 1 = 1$

$3x^2 + 3x = 0$

$3x(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Это и будут наши пределы интегрирования.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Чтобы определить, какая функция является верхней на интервале $(-1, 0)$, возьмем любую точку из этого интервала, например, $x = -0.5$.

Для параболы $y(-0.5) = 3(-0.5)^2 + 3(-0.5) + 1 = 3(0.25) - 1.5 + 1 = 0.75 - 1.5 + 1 = 0.25$.

Поскольку $0.25 < 1$, на интервале $(-1, 0)$ график прямой $y=1$ лежит выше графика параболы $y = 3x^2 + 3x + 1$.

Теперь можно вычислить площадь фигуры по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{нижн}) dx$

$S = \int_{-1}^{0} (1 - (3x^2 + 3x + 1)) dx = \int_{-1}^{0} (1 - 3x^2 - 3x - 1) dx = \int_{-1}^{0} (-3x^2 - 3x) dx$

Вычисляем интеграл:

$S = [-3 \frac{x^3}{3} - 3 \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = [-x^3 - \frac{3}{2}x^2]_{-1}^{0}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = (-(0)^3 - \frac{3}{2}(0)^2) - (-(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2) = 0 - (-(-1) - \frac{3}{2}(1)) = -(1 - \frac{3}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

5.25. В каком соотношении делится площадь четырехугольника ABCD, где A(-4; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(4; 0), параболой $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$?

1. Определим вид четырехугольника и найдем его площадь.

Заданный четырехугольник имеет вершины с координатами A(-4; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(4; 0).

Основание AD лежит на оси Ox, так как ординаты точек A и D равны 0. Длина этого основания: $AD = 4 - (-4) = 8$.

Сторона BC параллельна оси Ox, так как ординаты точек B и C равны 4. Длина этой стороны: $BC = 2 - (-2) = 4$.

Поскольку две стороны четырехугольника (AD и BC) параллельны, а две другие (AB и CD) нет, то ABCD — трапеция. Высота трапеции равна разности ординат параллельных сторон: $h = 4 - 0 = 4$.

Площадь трапеции ABCD вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$.

2. Проанализируем положение параболы относительно трапеции.

Парабола задана уравнением $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$.

Проверим, проходят ли вершины трапеции через эту параболу.

Для точки B(-2; 4): $y(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка B лежит на параболе.

Для точки C(2; 4): $y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка C лежит на параболе.

Таким образом, парабола проходит через верхние вершины трапеции B и C и делит ее на две части: верхнюю ($S_2$), ограниченную сверху отрезком BC, и нижнюю ($S_1$), ограниченную снизу отрезками AB, AD и CD.

3. Найдем площадь верхней части ($S_2$).

Площадь $S_2$ — это площадь фигуры, ограниченной сверху прямой $y=4$ (отрезок BC) и снизу параболой $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ в пределах от $x=-2$ до $x=2$. Эту площадь можно найти с помощью определенного интеграла:

$S_2 = \int_{-2}^{2} \left(4 - \left(\frac{1}{2}x^2 + 2\right)\right) dx = \int_{-2}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx$.

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), интеграл можно вычислить как:

$S_2 = 2 \int_{0}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx = 2 \left[2x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = 2 \left[2x - \frac{x^3}{6}\right]_{0}^{2}$.

$S_2 = 2 \left(\left(2 \cdot 2 - \frac{2^3}{6}\right) - (0)\right) = 2 \left(4 - \frac{8}{6}\right) = 2 \left(4 - \frac{4}{3}\right) = 2 \left(\frac{12-4}{3}\right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

4. Найдем площадь нижней части ($S_1$).

Площадь нижней части $S_1$ можно найти, вычтя площадь верхней части $S_2$ из общей площади трапеции $S_{ABCD}$:

$S_1 = S_{ABCD} - S_2 = 24 - \frac{16}{3} = \frac{72}{3} - \frac{16}{3} = \frac{56}{3}$.

5. Найдем искомое соотношение площадей.

Парабола делит площадь трапеции на две части с площадями $S_1 = \frac{56}{3}$ и $S_2 = \frac{16}{3}$. Найдем их отношение:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{56/3}{16/3} = \frac{56}{16}$.

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$\frac{56 \div 8}{16 \div 8} = \frac{7}{2}$.

Следовательно, площади относятся как 7:2.

Ответ: Парабола делит площадь четырехугольника в соотношении 7:2.

5.26. 1) Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.

2) Канал имеет в разрезе форму равнобокой трапеции с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$, где $a > b$, $a$ — верхнее основание. Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину.

1)

Сила давления жидкости на вертикальную пластину вычисляется с помощью интеграла. Давление воды на глубине $y$ определяется формулой $P(y) = \rho g y$, где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $y$ — глубина, отсчитываемая от поверхности воды.

Рассмотрим вертикальный прямоугольный шлюз с основанием (шириной) $W = 18$ м и высотой $H = 6$ м. Предполагаем, что верхний край шлюза находится на уровне поверхности воды. Введем систему координат, где ось $y$ направлена вертикально вниз от поверхности воды.

Чтобы найти полную силу давления, мысленно разобьем поверхность шлюза на узкие горизонтальные полоски высотой $dy$ на глубине $y$. Площадь такой полоски равна $dA = W \cdot dy$. Давление на этой глубине постоянно и равно $P(y)$. Элементарная сила $dF$, действующая на эту полоску, равна:

$dF = P(y) \cdot dA = \rho g y W dy$

Полная сила $F$ находится путем интегрирования этого выражения по всей высоте шлюза, то есть от $y=0$ до $y=H$:

$F = \int_0^H \rho g y W dy = \rho g W \int_0^H y dy = \rho g W \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^H = \frac{\rho g W H^2}{2}$

Подставим числовые значения. Примем плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³ и ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с².

$W = 18$ м

$H = 6$ м

$F = \frac{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 18 м \cdot (6 м)^2}{2} = 500 \cdot 9.8 \cdot 18 \cdot 36 = 3175200$ Н

Сила составляет $3175.2$ кН или примерно $3.18$ МН.

Ответ: $3175200$ Н.

2)

Плотина имеет форму вертикальной равнобокой трапеции. Пусть верхнее основание равно $a$, нижнее — $b$, а высота — $h$. Канал полностью заполнен водой, поэтому глубина воды равна высоте плотины $h$.

Введем систему координат с началом на поверхности воды (на линии верхнего основания трапеции), ось $y$ направим вертикально вниз. Давление на глубине $y$ равно $P(y) = \rho g y$.

Для вычисления силы давления необходимо проинтегрировать давление по площади плотины. Ширина плотины $w$ меняется в зависимости от глубины $y$. Так как ширина меняется линейно от $a$ при $y=0$ до $b$ при $y=h$, зависимость ширины от глубины можно описать функцией:

$w(y) = a + \frac{b-a}{h}y = a - \frac{a-b}{h}y$

Рассмотрим тонкую горизонтальную полоску на глубине $y$ с высотой $dy$. Ее площадь $dA = w(y)dy$. Сила, действующая на эту полоску, равна:

$dF = P(y) dA = \rho g y \cdot w(y) dy = \rho g y \left( a - \frac{a-b}{h}y \right) dy$

Полная сила $F$ на плотину — это интеграл от $dF$ по всей высоте от $y=0$ до $y=h$:

$F = \int_0^h \rho g y \left( a - \frac{a-b}{h}y \right) dy = \rho g \int_0^h \left( ay - \frac{a-b}{h}y^2 \right) dy$

Вычислим интеграл:

$F = \rho g \left[ a\frac{y^2}{2} - \frac{a-b}{h}\frac{y^3}{3} \right]_0^h = \rho g \left( a\frac{h^2}{2} - \frac{a-b}{h}\frac{h^3}{3} \right)$

$F = \rho g \left( \frac{ah^2}{2} - \frac{(a-b)h^2}{3} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{a}{2} - \frac{a-b}{3} \right)$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$F = \rho g h^2 \left( \frac{3a - 2(a-b)}{6} \right) = \rho g h^2 \left( \frac{3a - 2a + 2b}{6} \right) = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$

Это и есть искомая формула для силы давления воды на плотину.

Ответ: $F = \frac{\rho g h^2 (a + 2b)}{6}$, где $\rho$ — плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения.

5.27. Материальная точка движется по прямой со скоростью $v(t) = \sin(t)\cos(t)$. Найдите уравнения движения точки, если при $t = \frac{\pi}{4}$ пройденный путь равен 3 м.

Уравнение движения материальной точки $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Таким образом, чтобы найти $s(t)$, необходимо проинтегрировать функцию скорости $v(t) = \sin t \cos t$.

$s(t) = \int v(t) dt = \int \sin t \cos t dt$

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $\sin(2t) = 2 \sin t \cos t$. Отсюда следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.

Подставим это выражение в интеграл:

$s(t) = \int \frac{1}{2} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} \int \sin(2t) dt$

Вычисляем интеграл:

$s(t) = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} \cos(2t)\right) + C = -\frac{1}{4} \cos(2t) + C$

Здесь $C$ — постоянная интегрирования, которую мы найдем из начального условия. По условию задачи, при $t = \frac{\pi}{4}$ пройденный путь $s$ равен 3 м. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$s\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{4} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + C = 3$

$-\frac{1}{4} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C = 3$

Так как $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, получаем:

$-\frac{1}{4} \cdot 0 + C = 3$

$C = 3$

Теперь подставим найденное значение постоянной $C$ в общее уравнение движения:

$s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$

Ответ: $s(t) = -\frac{1}{4}\cos(2t) + 3$.

5.28. Найдите первообразную функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми: $y = 6x + 3$ и $y = 0$.

Найдите первообразную функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x + 4$ находится путем интегрирования:$F(x) = \int (2x + 4) dx = 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Условие касания графика первообразной $F(x)$ и прямой $y = 6x + 3$ в точке с абсциссой $x_0$ означает, что в этой точке производная первообразной равна угловому коэффициенту касательной, а значения функций совпадают.

Производная первообразной $F'(x)$ есть исходная функция $f(x) = 2x + 4$. Угловой коэффициент прямой $y=6x+3$ равен 6. Найдем абсциссу точки касания $x_0$:$F'(x_0) = 6$$2x_0 + 4 = 6$$2x_0 = 2$$x_0 = 1$.

Теперь найдем постоянную $C$, используя условие равенства значений функций в точке касания $x_0 = 1$:$F(1) = 6(1) + 3 = 9$.С другой стороны, из формулы для первообразной:$F(1) = (1)^2 + 4(1) + C = 5 + C$.Приравнивая полученные значения, находим $C$:$5 + C = 9$$C = 4$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + 4x + 4$. Ее можно также записать как $F(x) = (x+2)^2$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 4x + 4$.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми: $y = 6x + 3$ и $y = 0$

Фигура ограничена тремя линиями: параболой $y = x^2 + 4x + 4$ (или $y = (x+2)^2$), прямой $y = 6x + 3$ и осью абсцисс $y = 0$.

Для определения границ интегрирования найдем точки пересечения этих линий.

Парабола $y = (x+2)^2$ пересекает ось $y=0$ в точке, где $(x+2)^2 = 0$, то есть при $x = -2$. Точка пересечения $(-2, 0)$.

Прямая $y = 6x + 3$ пересекает ось $y=0$ в точке, где $6x + 3 = 0$, то есть при $x = -1/2$. Точка пересечения $(-1/2, 0)$.

Парабола и прямая касаются в точке с абсциссой $x=1$ и ординатой $y = 6(1) + 3 = 9$. Точка касания $(1, 9)$.

Фигура представляет собой криволинейный треугольник, ограниченный снизу осью $y=0$, слева дугой параболы и справа отрезком прямой. Его площадь можно найти как разность площади криволинейной трапеции под параболой на отрезке $[-2, 1]$ и площади треугольника под прямой на отрезке $[-1/2, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется как разность двух интегралов:$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx - \int_{-1/2}^{1} (6x + 3) dx$.

Вычислим первый интеграл:$\int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{1}$$= \left( \frac{1^3}{3} + 2(1)^2 + 4(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) \right)$$= \left( \frac{1}{3} + 6 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 8 \right) = \frac{19}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{27}{3} = 9$.

Вычислим второй интеграл:$\int_{-1/2}^{1} (6x + 3) dx = \left[ 3x^2 + 3x \right]_{-1/2}^{1}$$= (3(1)^2 + 3(1)) - (3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2})) = (3 + 3) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{2}) = 6 - (-\frac{3}{4}) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

Искомая площадь равна разности вычисленных значений:$S = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36 - 27}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$.

Ответ: $S = \frac{9}{4}$.

5.29. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

1) $y = \frac{x}{2x^2 - 1}$ на отрезке $[-4; -2];$

2) $y = x \cdot \sqrt{3-x}$ на отрезке $[-1; 3].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует), которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.

4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1) Дана функция $y = \frac{x}{2x^2 - 1}$ на отрезке $[-4; -2]$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Данные точки не входят в отрезок $[-4; -2]$, следовательно, функция непрерывна на этом отрезке.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x}{2x^2 - 1}\right)' = \frac{(x)'(2x^2 - 1) - x(2x^2 - 1)'}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{1 \cdot (2x^2 - 1) - x \cdot (4x)}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{2x^2 - 1 - 4x^2}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 - 1)^2}$.

Теперь найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 - 1)^2} = 0$

$-2x^2 - 1 = 0$

$2x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Производная существует во всех точках отрезка $[-4; -2]$. Так как критических точек внутри отрезка нет, наименьшее и наибольшее значения достигаются на его концах.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = -4$: $y(-4) = \frac{-4}{2(-4)^2 - 1} = \frac{-4}{2 \cdot 16 - 1} = \frac{-4}{32 - 1} = -\frac{4}{31}$.

При $x = -2$: $y(-2) = \frac{-2}{2(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{-2}{8 - 1} = -\frac{2}{7}$.

Сравним полученные значения. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $31 \cdot 7 = 217$:

$-\frac{4}{31} = -\frac{4 \cdot 7}{31 \cdot 7} = -\frac{28}{217}$

$-\frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 31}{7 \cdot 31} = -\frac{62}{217}$

Так как $-28 > -62$, то $-\frac{28}{217} > -\frac{62}{217}$, следовательно, $-\frac{4}{31} > -\frac{2}{7}$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = -\frac{4}{31}$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -\frac{2}{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{2}{7}$, наибольшее значение равно $-\frac{4}{31}$.

2) Дана функция $y = x \cdot \sqrt{3 - x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - x \ge 0$, то есть $x \le 3$. Отрезок $[-1; 3]$ полностью входит в область определения, и функция на нем непрерывна.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x \cdot \sqrt{3 - x})' = (x)'\sqrt{3 - x} + x(\sqrt{3 - x})' = 1 \cdot \sqrt{3 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (-1) = \sqrt{3 - x} - \frac{x}{2\sqrt{3 - x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{3 - x})^2 - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 2x - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}$.

Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} = 0$

$6 - 3x = 0$

$3x = 6$

$x = 2$.

Точка $x=2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{3 - x} = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3$.

Точка $x=3$ также является критической и совпадает с правым концом отрезка.

Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=3$.

При $x = -1$: $y(-1) = -1 \cdot \sqrt{3 - (-1)} = -1 \cdot \sqrt{4} = -1 \cdot 2 = -2$.

При $x = 2$: $y(2) = 2 \cdot \sqrt{3 - 2} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$.

При $x = 3$: $y(3) = 3 \cdot \sqrt{3 - 3} = 3 \cdot \sqrt{0} = 0$.

Сравним полученные значения: $-2, 2, 0$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = 2$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-2$, наибольшее значение равно $2$.

5.30. Используя геометрический смысл определенного интеграла, найдите:

1) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx;$2) $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx;$

3) $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx;$4) $\int_{1}^{2} \sqrt{2x - x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $ \int_a^b f(x) dx $ для неотрицательной функции $f(x)$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данном случае $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$. Рассмотрим график функции $y = \sqrt{9 - x^2}$. Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $y \ge 0$): $y^2 = 9 - x^2$, что можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 3^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Поскольку $y \ge 0$, график функции $y = \sqrt{9 - x^2}$ представляет собой верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=3$ означают, что мы ищем площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти. Эта фигура является четвертью круга радиуса 3. Площадь всего круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, площадь четверти круга равна $S_{1/4} = \frac{1}{4} \pi R^2$. Подставляя $R=3$, получаем: $S = \frac{1}{4} \pi (3)^2 = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $ \frac{9\pi}{4} $

2) Рассмотрим интеграл $ \int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2} dx $. Подынтегральная функция $y = \sqrt{4 - x^2}$. Преобразуем уравнение $y = \sqrt{4 - x^2}$ (при $y \ge 0$): $y^2 = 4 - x^2$, или $x^2 + y^2 = 2^2$. Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $x=-2$ до $x=2$ охватывают всю область определения функции, то есть от левой до правой точки пересечения окружности с осью $Ox$. Таким образом, интеграл равен площади полукруга радиуса 2. Площадь полукруга вычисляется как $S_{1/2} = \frac{1}{2} \pi R^2$. Подставляя $R=2$, получаем: $S = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$.

Ответ: $ 2\pi $

3) Рассмотрим интеграл $ \int_0^4 \sqrt{4x - x^2} dx $. Подынтегральная функция $y = \sqrt{4x - x^2}$. Преобразуем уравнение $y = \sqrt{4x - x^2}$ (при $y \ge 0$), выделив полный квадрат: $y^2 = 4x - x^2$ $y^2 = -(x^2 - 4x)$ $y^2 = -( (x^2 - 4x + 4) - 4 )$ $y^2 = -(x-2)^2 + 4$ $(x-2)^2 + y^2 = 4 = 2^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R=2$. График функции $y = \sqrt{4x - x^2}$ — это верхняя полуокружность. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=4$ соответствуют точкам пересечения окружности с осью абсцисс. Таким образом, искомая площадь — это площадь полукруга радиуса 2. Площадь полукруга равна $S_{1/2} = \frac{1}{2} \pi R^2$. Подставляя $R=2$, получаем: $S = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.

Ответ: $ 2\pi $

4) Рассмотрим интеграл $ \int_1^2 \sqrt{2x - x^2} dx $. Подынтегральная функция $y = \sqrt{2x - x^2}$. Преобразуем уравнение $y = \sqrt{2x - x^2}$ (при $y \ge 0$), выделив полный квадрат: $y^2 = 2x - x^2$ $y^2 = -(x^2 - 2x)$ $y^2 = -( (x^2 - 2x + 1) - 1 )$ $y^2 = -(x-1)^2 + 1$ $(x-1)^2 + y^2 = 1 = 1^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R=1$. График функции $y = \sqrt{2x - x^2}$ — это верхняя полуокружность. Пределы интегрирования от $x=1$ до $x=2$. Это соответствует отрезку от центра окружности $(1, 0)$ до её крайней правой точки $(2, 0)$. Таким образом, искомая площадь — это площадь четверти круга радиуса 1. Площадь четверти круга равна $S_{1/4} = \frac{1}{4} \pi R^2$. Подставляя $R=1$, получаем: $S = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} $

1. Укажите функцию, для которой функция $F(x) = 2 - \cos x$ является первообразной:

A) $2x + \sin x$;

B) $\sin x$;

C) $-\sin x$;

D) такой функции нет.

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если ее производная равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Чтобы найти функцию $f(x)$, для которой $F(x) = 2 - \cos x$ является первообразной, нам нужно найти производную от функции $F(x)$.

Найдем производную, используя правила дифференцирования:

$f(x) = F'(x) = (2 - \cos x)'$

Производная разности функций равна разности их производных:

$f(x) = (2)' - (\cos x)'$

Производная константы (2) равна нулю, а производная функции $\cos x$ равна $-\sin x$.

$f(x) = 0 - (-\sin x) = \sin x$

Таким образом, искомая функция - это $f(x) = \sin x$. Этот результат соответствует варианту ответа B).

Ответ: B) sinx;