Номер 5.29, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.29. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

1) $y = \frac{x}{2x^2 - 1}$ на отрезке $[-4; -2];$

2) $y = x \cdot \sqrt{3-x}$ на отрезке $[-1; 3].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

2. Найти критические точки функции (точки, в которых производная равна нулю или не существует), которые принадлежат данному отрезку.

3. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка.

4. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1) Дана функция $y = \frac{x}{2x^2 - 1}$ на отрезке $[-4; -2]$.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $2x^2 - 1 \neq 0$, что означает $x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Данные точки не входят в отрезок $[-4; -2]$, следовательно, функция непрерывна на этом отрезке.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$y' = \left(\frac{x}{2x^2 - 1}\right)' = \frac{(x)'(2x^2 - 1) - x(2x^2 - 1)'}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{1 \cdot (2x^2 - 1) - x \cdot (4x)}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{2x^2 - 1 - 4x^2}{(2x^2 - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 - 1)^2}$.

Теперь найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{-2x^2 - 1}{(2x^2 - 1)^2} = 0$

$-2x^2 - 1 = 0$

$2x^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Производная существует во всех точках отрезка $[-4; -2]$. Так как критических точек внутри отрезка нет, наименьшее и наибольшее значения достигаются на его концах.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

При $x = -4$: $y(-4) = \frac{-4}{2(-4)^2 - 1} = \frac{-4}{2 \cdot 16 - 1} = \frac{-4}{32 - 1} = -\frac{4}{31}$.

При $x = -2$: $y(-2) = \frac{-2}{2(-2)^2 - 1} = \frac{-2}{2 \cdot 4 - 1} = \frac{-2}{8 - 1} = -\frac{2}{7}$.

Сравним полученные значения. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $31 \cdot 7 = 217$:

$-\frac{4}{31} = -\frac{4 \cdot 7}{31 \cdot 7} = -\frac{28}{217}$

$-\frac{2}{7} = -\frac{2 \cdot 31}{7 \cdot 31} = -\frac{62}{217}$

Так как $-28 > -62$, то $-\frac{28}{217} > -\frac{62}{217}$, следовательно, $-\frac{4}{31} > -\frac{2}{7}$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = -\frac{4}{31}$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -\frac{2}{7}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{2}{7}$, наибольшее значение равно $-\frac{4}{31}$.

2) Дана функция $y = x \cdot \sqrt{3 - x}$ на отрезке $[-1; 3]$.

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3 - x \ge 0$, то есть $x \le 3$. Отрезок $[-1; 3]$ полностью входит в область определения, и функция на нем непрерывна.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x \cdot \sqrt{3 - x})' = (x)'\sqrt{3 - x} + x(\sqrt{3 - x})' = 1 \cdot \sqrt{3 - x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} \cdot (-1) = \sqrt{3 - x} - \frac{x}{2\sqrt{3 - x}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{2(\sqrt{3 - x})^2 - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{2(3 - x) - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 2x - x}{2\sqrt{3 - x}} = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}$.

Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:

$\frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}} = 0$

$6 - 3x = 0$

$3x = 6$

$x = 2$.

Точка $x=2$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$.

Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:

$2\sqrt{3 - x} = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3$.

Точка $x=3$ также является критической и совпадает с правым концом отрезка.

Вычислим значения функции в критической точке $x=2$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=3$.

При $x = -1$: $y(-1) = -1 \cdot \sqrt{3 - (-1)} = -1 \cdot \sqrt{4} = -1 \cdot 2 = -2$.

При $x = 2$: $y(2) = 2 \cdot \sqrt{3 - 2} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2$.

При $x = 3$: $y(3) = 3 \cdot \sqrt{3 - 3} = 3 \cdot \sqrt{0} = 0$.

Сравним полученные значения: $-2, 2, 0$.

Наибольшее значение функции $y_{наиб} = 2$.

Наименьшее значение функции $y_{наим} = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-2$, наибольшее значение равно $2$.