Номер 6, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6. Какие правила нахождения первообразных необходимо применить, чтобы найти первообразную функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$:

A) правило 1;

B) правило 2;

C) правила 2 и 3;

D) правило 3?

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$ необходимо определить, какие правила интегрирования следует применить. Первообразная находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int 5\sin(0.5x) dx$.

Проанализируем структуру функции и сопоставим её со стандартными правилами нахождения первообразных. Обычно под правилами 1, 2 и 3 подразумевают следующие:

Правило 1: Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных. Если $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно, то $F(x) \pm G(x)$ — первообразная для $f(x) \pm g(x)$.

Правило 2: Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $k \cdot F(x)$ — первообразная для $k \cdot f(x)$. Формула: $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$.

Правило 3: Правило нахождения первообразной для сложной функции вида $f(kx+b)$. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $\frac{1}{k}F(kx+b)$ — первообразная для $f(kx+b)$. Формула: $\int f(kx+b) dx = \frac{1}{k}F(kx+b) + C$.

Теперь применим эти правила к нашей функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$:

1. Функция $f(x)$ содержит постоянный множитель $k=5$. Чтобы найти ее первообразную, мы должны вынести этот множитель за знак интеграла. Это требует применения правила 2:

$\int 5\sin(0.5x) dx = 5 \int \sin(0.5x) dx$.

2. После вынесения константы нам нужно найти первообразную для функции $\sin(0.5x)$. Эта функция имеет вид $f(kx+b)$, где $f(u) = \sin(u)$, $k=0.5$ и $b=0$. Первообразной для $\sin(u)$ является $-\cos(u)$. Для нахождения первообразной от $\sin(0.5x)$ мы должны использовать правило 3:

$\int \sin(0.5x) dx = \frac{1}{0.5}(-\cos(0.5x)) + C = -2\cos(0.5x) + C$.

Правило 1 в данном случае не используется, так как исходная функция не является суммой или разностью двух функций.

Таким образом, для нахождения первообразной функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$ необходимо применить и правило 2, и правило 3.

Полный процесс нахождения первообразной $F(x)$ выглядит так:

$F(x) = \int 5\sin(0.5x) dx = 5 \int \sin(0.5x) dx = 5 \cdot \left(\frac{1}{0.5}(-\cos(0.5x))\right) + C = 5 \cdot (-2\cos(0.5x)) + C = -10\cos(0.5x) + C$.

Следовательно, верным является вариант ответа, который указывает на необходимость применения правил 2 и 3.

Ответ: C) правила 2 и 3;.