Номер 9, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

9. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке:

A) $ \frac{3}{10} $;

B) 8;

C) 10;

D) $ 3\frac{1}{3} $.

Для нахождения площади заштрихованной фигуры, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала определим уравнение кривой, ограничивающей фигуру сверху.

Из рисунка видно, что кривая является параболой. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Уравнение такой параболы имеет вид $y = ax^2 + 1$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой, через которую проходит парабола, например, точкой $(1, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение:$2 = a \cdot 1^2 + 1$$2 = a + 1$$a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $y = x^2 + 1$. Проверим это по точке $(2, 5)$, также видимой на графике: $y(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Уравнение найдено верно.

Заштрихованная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции $y = x^2 + 1$, снизу — осью абсцисс (хотя она не касается ее в этом интервале), и с боков — прямыми $x=1$ и $x=2$.

Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:$S = \int_a^b f(x)dx$В нашем случае $f(x) = x^2 + 1$, $a=1$, $b=2$.$S = \int_1^2 (x^2 + 1) dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 + 1$:$F(x) = \frac{x^3}{3} + x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:$S = F(2) - F(1) = \left(\frac{2^3}{3} + 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) = \left(\frac{8}{3} + 2\right) - \left(\frac{1}{3} + 1\right)$$S = \left(\frac{8}{3} + \frac{6}{3}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{3}{3}\right) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа:$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $3\frac{1}{3}$