gdz.top
Номер 14, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский
Авторы: Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава I. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 14, страница 51.
№13
№14 (с. 51)
Условие. №14 (с. 51)
14. Вычислите $ \int_0^1 \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} dx $:
A) 8;
B) 12;
C) 6;
D) -4.
Решение 2 (rus). №14 (с. 51)
Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{4} \frac{x^3 + 1}{x^2 - x + 1} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.
Числитель дроби $ x^3 + 1 $ можно разложить на множители, используя формулу суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $.
Применяя эту формулу, получаем:$ x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x \cdot 1 + 1^2) = (x+1)(x^2 - x + 1) $.
Теперь подставим это выражение обратно в интеграл:$ \int_{0}^{4} \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{x^2 - x + 1} dx $.
Поскольку выражение в знаменателе $ x^2 - x + 1 $ не равно нулю ни при каких действительных значениях $ x $ (дискриминант $ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 $), мы можем сократить дробь.
Интеграл упрощается до:$ \int_{0}^{4} (x+1) dx $.
Теперь найдем первообразную для функции $ f(x) = x+1 $. Первообразная равна $ F(x) = \frac{x^2}{2} + x $.
Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $:$ \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{4} = (\frac{4^2}{2} + 4) - (\frac{0^2}{2} + 0) = (\frac{16}{2} + 4) - 0 = (8 + 4) - 0 = 12 $.
Ответ: 12
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14 расположенного на странице 51 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14 (с. 51), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.