gdz.top
Номер 20, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский
Авторы: Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава I. Первообразная и интеграл. Проверь себя! - номер 20, страница 52.
№19
№20 (с. 52)
Условие. №20 (с. 52)
20. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной линиями функции $y = x^2$, $y = 0$, $x = 3$:
А) $243\pi$; B) $5,4\pi$; C) $27\pi$; D) $48,6\pi$.
Решение 2 (rus). №20 (с. 52)
Для нахождения объема тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула объема тела вращения: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.
В данной задаче фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью $Ox$ (линия $y = 0$) и вертикальной прямой $x = 3$. Пределы интегрирования определяются границами фигуры по оси $x$. Нижний предел $a$ находится из пересечения $y = x^2$ и $y = 0$, что дает $x^2=0$, откуда $x=0$. Таким образом, $a=0$. Верхний предел задан прямой $x = 3$, то есть $b=3$.
Подставим функцию $f(x) = x^2$ и найденные пределы интегрирования в формулу: $V = \pi \int_0^3 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^3 x^4 dx$.
Для вычисления определенного интеграла найдем первообразную от функции $x^4$, которая равна $\frac{x^5}{5}$. Затем применим формулу Ньютона-Лейбница: $V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^3 = \pi \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$.
Вычислим значение выражения. Так как $3^5 = 243$, получаем: $V = \pi \left( \frac{243}{5} - 0 \right) = \frac{243}{5}\pi$.
Чтобы сравнить полученный результат с предложенными вариантами ответов, преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{243}{5} = 48.6$. Следовательно, искомый объем равен $48.6\pi$. Этот результат соответствует варианту D).
Ответ: $48.6\pi$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 20 расположенного на странице 52 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20 (с. 52), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.