Номер 24, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

24. Игровой мяч сбросили с высоты 27 м и мяч подпрыгивает на $1/3$ высоты падения. Сколько метров пролетит мяч до полной остановки:

A) 44; B) 56; C) 54; D) 52; E) 60?

Решение:

Чтобы найти общее расстояние, которое пролетит мяч до полной остановки, нужно сложить расстояние первоначального падения и все последующие расстояния, которые мяч пролетает, подпрыгивая вверх и снова падая вниз.

1. Начальное падение:

Мяч бросили с высоты $h_0 = 27$ метров. Это первая часть пройденного пути.

2. Последующие отскоки:

После каждого падения мяч подпрыгивает на высоту, равную одной трети ($\frac{1}{3}$) от высоты, с которой он упал. Затем он падает обратно с этой новой высоты.

- Высота первого подъема: $h_1 = 27 \times \frac{1}{3} = 9$ м. Расстояние, пройденное на первом отскоке (вверх и вниз), составляет $2 \times 9 = 18$ м.

- Высота второго подъема: $h_2 = 9 \times \frac{1}{3} = 3$ м. Расстояние, пройденное на втором отскоке, составляет $2 \times 3 = 6$ м.

- Высота третьего подъема: $h_3 = 3 \times \frac{1}{3} = 1$ м. Расстояние, пройденное на третьем отскоке, составляет $2 \times 1 = 2$ м.

Этот процесс продолжается бесконечно.

3. Расчет общего расстояния:

Общее расстояние $S$ — это сумма начального падения и всех последующих отскоков:

$S = 27 + (18 + 6 + 2 + ...)$

Слагаемые в скобках образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, так как каждый следующий член меньше предыдущего в одно и то же число раз.

- Первый член прогрессии $b_1 = 18$.

- Знаменатель прогрессии $q = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($S_{прогр}$) вычисляется по формуле:

$S_{прогр} = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения:

$S_{прогр} = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \times \frac{3}{2} = 27$ м.

Это сумма всех расстояний, пройденных мячом после первого падения. Теперь добавим к этому значению начальную высоту падения, чтобы найти общее расстояние:

$S_{общ} = 27 \text{ м (начальное падение)} + 27 \text{ м (все отскоки)} = 54$ м.

Таким образом, мяч до полной остановки пролетит 54 метра. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: 54