Номер 21, страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

21. Известно, что различные числа $a$ и $b$ делятся на $c$. Найдите неверный вывод:

A) $\frac{a - b + 1}{a + b}$ делится на $c$;

B) $\frac{2a - b}{a + b}$ сократимая дробь;

C) $ab$ делится на $c$;

D) $3a + 2b$ делится на $c$;

E) $ab - 2c$ делится на $c$.

По условию, различные числа $a$ и $b$ делятся на $c$. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что $a = kc$ и $b = mc$, причем $k \ne m$. Проанализируем каждый из предложенных выводов.

A) $\frac{a-b+1}{a+b}$ делится на c;

Подставим $a=kc$ и $b=mc$ в данное выражение: $\frac{kc-mc+1}{kc+mc} = \frac{c(k-m)+1}{c(k+m)}$. Чтобы это выражение делилось на $c$, оно должно быть целым числом, кратным $c$. Возьмем контрпример: пусть $c=2$, $a=4$ и $b=2$. Условия выполнены: $a \ne b$, $a$ и $b$ делятся на $c$. Выражение принимает значение $\frac{4-2+1}{4+2} = \frac{3}{6} = 0.5$. Это число не является целым и, следовательно, не может делиться на 2. Таким образом, данное утверждение не всегда верно.

Ответ: Неверный вывод.

B) $\frac{2a-b}{a+b}$ сократимая дробь;

Подставим $a=kc$ и $b=mc$: $\frac{2kc-mc}{kc+mc} = \frac{c(2k-m)}{c(k+m)}$. Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Если $|c|>1$, то $c$ является таким общим делителем, и дробь всегда сократима. Однако, если $c=1$, условие "делится на c" выполнено для любых целых $a$ и $b$. Возьмем $a=2, b=3$. Дробь равна $\frac{2(2)-3}{2+3} = \frac{1}{5}$, она несократима, так как НОД(1, 5) = 1. Следовательно, утверждение не всегда верно.

Ответ: Неверный вывод.

C) $ab$ делится на c;

Имеем $ab = (kc)(mc) = c(kmc)$. Так как $k, m, c$ — целые числа, то $kmc$ — целое число. Следовательно, произведение $ab$ является кратным $c$, то есть всегда делится на $c$.

Ответ: Верный вывод.

D) $3a+2b$ делится на c;

Имеем $3a+2b = 3(kc)+2(mc) = c(3k+2m)$. Так как $3k+2m$ — целое число, $3a+2b$ всегда делится на $c$. Это свойство линейности делимости.

Ответ: Верный вывод.

E) $ab - 2c$ делится на c.

Как показано в пункте C, произведение $ab$ делится на $c$. Число $2c$ также очевидно делится на $c$. Разность двух чисел, делящихся на $c$, всегда делится на $c$.

Ответ: Верный вывод.

Итак, выводы A и B являются неверными, в то время как C, D, E — верные. Задача требует найти один неверный вывод. Сравним выводы A и B. Утверждение B является неверным только в тривиальных случаях, когда $|c|=1$. Если же рассматривать нетривиальный делитель ($|c|>1$), что обычно подразумевается в задачах на делимость, то утверждение B всегда верно. Утверждение A, напротив, всегда неверно при $|c|>1$, так как выражение $\frac{c(k-m)+1}{c(k+m)}$ в этом случае даже не является целым числом (его числитель не делится на $c$, а знаменатель делится). Это делает вывод A фундаментально неверным. Поэтому он является искомым ответом.

Ответ: A