Номер 16, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

16. Вычислите $\int_{0}^{6} \frac{x^4 - 1}{x + 1} dx$:

A) 212;

B) 264;

C) 210;

D) 320.

Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{6} \frac{x^4 - 1}{x + 1} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Числитель $ x^4 - 1 $ можно разложить на множители как разность квадратов:

$ x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) $.

Далее, выражение $ x^2 - 1 $ также является разностью квадратов:

$ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $.

Таким образом, числитель равен $ (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) $.

Теперь подынтегральная дробь принимает вид:

$ \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x + 1} $.

Поскольку интегрирование производится на отрезке от 0 до 6, на котором знаменатель $ x+1 $ не обращается в ноль, мы можем сократить дробь на $ (x+1) $:

$ (x - 1)(x^2 + 1) $.

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен:

$ (x - 1)(x^2 + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot 1 - 1 \cdot x^2 - 1 \cdot 1 = x^3 + x - x^2 - 1 = x^3 - x^2 + x - 1 $.

Теперь задача сводится к вычислению интеграла от многочлена:

$ \int_{0}^{6} (x^3 - x^2 + x - 1) dx $.

Найдем первообразную подынтегральной функции, используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $:

$ \int (x^3 - x^2 + x - 1) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_{0}^{6} = \left(\frac{6^4}{4} - \frac{6^3}{3} + \frac{6^2}{2} - 6\right) - \left(\frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} - 0\right) $.

Вычислим значение выражения в скобках для верхнего предела интегрирования $ x=6 $:

$ \frac{1296}{4} - \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 6 = 324 - 72 + 18 - 6 $.

$ 324 - 72 + 18 - 6 = 252 + 18 - 6 = 270 - 6 = 264 $.

Значение выражения для нижнего предела интегрирования $ x=0 $ равно 0.

Следовательно, значение определенного интеграла равно:

$ 264 - 0 = 264 $.

Ответ: 264