Номер 12, страница 51 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 5$

и $y = 5$:

A) $10\frac{2}{3}$;

B) $\frac{3}{32}$;

C) 11;

D) 10.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 5$ и $y = 5$, в первую очередь необходимо найти пределы интегрирования. Для этого найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций, приравняв их уравнения:

$x^2 - 4x + 5 = 5$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 4x + 5 - 5 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и будут наши пределы интегрирования, от $a = 0$ до $b = 4$.

Площадь $S$ фигуры, заключенной между двумя кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

В нашем случае, на интервале $(0, 4)$ парабола $y = x^2 - 4x + 5$ находится ниже прямой $y = 5$. Чтобы в этом убедиться, можно взять любую точку из этого интервала, например $x = 2$. Получим $y = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$, что меньше 5. Таким образом, верхняя функция $f(x) = 5$, а нижняя $g(x) = x^2 - 4x + 5$.

Подставим наши данные в формулу площади:

$S = \int_0^4 (5 - (x^2 - 4x + 5)) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = \int_0^4 (5 - x^2 + 4x - 5) dx = \int_0^4 (-x^2 + 4x) dx$

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для функции $-x^2 + 4x$:

$F(x) = \int (-x^2 + 4x) dx = -\frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + 2x^2$

Теперь вычислим значение интеграла:

$S = F(4) - F(0) = \left( -\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 \right)$

$S = \left( -\frac{64}{3} + 2 \cdot 16 \right) - 0$

$S = -\frac{64}{3} + 32$

Приведем к общему знаменателю:

$S = -\frac{64}{3} + \frac{32 \cdot 3}{3} = -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

Чтобы сравнить с вариантами ответа, переведем неправильную дробь в смешанное число:

$S = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$

Этот результат соответствует варианту ответа A.

Ответ: A) $10\frac{2}{3}$