Номер 5, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5. Укажите первообразную функцию $y(x) = x^2 - 2x$, график которой проходит через точку $A(-1; 1)$:

A) $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + \frac{1}{3}$;

B) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - \frac{1}{3}$;

C) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{1}{3}$;

D) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{4}{3}$.

Для того чтобы найти первообразную функции $y(x) = x^2 - 2x$, график которой проходит через точку A(-1; 1), необходимо сначала найти общий вид первообразной для данной функции, а затем, используя координаты точки, определить значение константы интегрирования.

Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования функции $y(x)$. Используем правило интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \int x^2 dx - \int 2x dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

Выполнив вычисления, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Далее, используем условие, что график первообразной проходит через точку A(-1; 1). Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ должно быть равно 1. Подставим эти значения в найденное уравнение:

$F(-1) = 1$

$\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + C = 1$

$\frac{-1}{3} - 1 + C = 1$

$-\frac{1}{3} - \frac{3}{3} + C = 1$

$-\frac{4}{3} + C = 1$

Теперь найдем значение константы $C$:

$C = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$

Подставив найденное значение $C$ обратно в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{7}{3}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, можно заключить, что правильного ответа среди них нет, так как, вероятно, в условии задачи или в вариантах ответов допущена опечатка. На основе приведенных данных, верным решением является выведенная выше функция.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{7}{3}$