Номер 2, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Какая функция является первообразной для функции $f(x) = 5x^4 - 2x$:

A) $F(x) = 20x^4 + 8;$

B) $F(x) = x^5 + x^2;$

C) $F(x) = 20x^4 - 8;$

D) $F(x) = x^5 - x^2$?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если ее производная равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Мы можем найти первообразную, вычислив неопределенный интеграл от $f(x)$, или проверить каждый из предложенных вариантов, найдя его производную.

Способ 1: Интегрирование

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x^4 - 2x$ с помощью интегрирования. Используем правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (5x^4 - 2x) dx = \int 5x^4 dx - \int 2x dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^5 - x^2 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная. Среди предложенных вариантов ищем функцию, которая соответствует этому виду. Вариант D) $F(x) = x^5 - x^2$ получается при $C=0$.

Способ 2: Дифференцирование предложенных вариантов

Проверим, производная какой из предложенных функций $F(x)$ равна $f(x) = 5x^4 - 2x$.

A) Для $F(x) = 20x^4 + 8$ производная равна $F'(x) = (20x^4 + 8)' = 20 \cdot 4x^3 + 0 = 80x^3$. Это не равно $f(x)$.

B) Для $F(x) = x^5 + x^2$ производная равна $F'(x) = (x^5 + x^2)' = 5x^4 + 2x$. Это не равно $f(x)$.

C) Для $F(x) = 20x^4 - 8$ производная равна $F'(x) = (20x^4 - 8)' = 20 \cdot 4x^3 - 0 = 80x^3$. Это не равно $f(x)$.

D) Для $F(x) = x^5 - x^2$ производная равна $F'(x) = (x^5 - x^2)' = 5x^4 - 2x$. Это в точности совпадает с $f(x)$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: D