Номер 5.30, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.30. Используя геометрический смысл определенного интеграла, найдите:

1) $\int_{0}^{3} \sqrt{9 - x^2} dx;$2) $\int_{-2}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx;$

3) $\int_{0}^{4} \sqrt{4x - x^2} dx;$4) $\int_{1}^{2} \sqrt{2x - x^2} dx.$

1) Геометрический смысл определенного интеграла $ \int_a^b f(x) dx $ для неотрицательной функции $f(x)$ — это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данном случае $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$. Рассмотрим график функции $y = \sqrt{9 - x^2}$. Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $y \ge 0$): $y^2 = 9 - x^2$, что можно переписать в виде $x^2 + y^2 = 3^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Поскольку $y \ge 0$, график функции $y = \sqrt{9 - x^2}$ представляет собой верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=3$ означают, что мы ищем площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти. Эта фигура является четвертью круга радиуса 3. Площадь всего круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, площадь четверти круга равна $S_{1/4} = \frac{1}{4} \pi R^2$. Подставляя $R=3$, получаем: $S = \frac{1}{4} \pi (3)^2 = \frac{9\pi}{4}$.

Ответ: $ \frac{9\pi}{4} $

2) Рассмотрим интеграл $ \int_{-2}^2 \sqrt{4 - x^2} dx $. Подынтегральная функция $y = \sqrt{4 - x^2}$. Преобразуем уравнение $y = \sqrt{4 - x^2}$ (при $y \ge 0$): $y^2 = 4 - x^2$, или $x^2 + y^2 = 2^2$. Это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем верхнюю полуокружность. Пределы интегрирования от $x=-2$ до $x=2$ охватывают всю область определения функции, то есть от левой до правой точки пересечения окружности с осью $Ox$. Таким образом, интеграл равен площади полукруга радиуса 2. Площадь полукруга вычисляется как $S_{1/2} = \frac{1}{2} \pi R^2$. Подставляя $R=2$, получаем: $S = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$.

Ответ: $ 2\pi $

3) Рассмотрим интеграл $ \int_0^4 \sqrt{4x - x^2} dx $. Подынтегральная функция $y = \sqrt{4x - x^2}$. Преобразуем уравнение $y = \sqrt{4x - x^2}$ (при $y \ge 0$), выделив полный квадрат: $y^2 = 4x - x^2$ $y^2 = -(x^2 - 4x)$ $y^2 = -( (x^2 - 4x + 4) - 4 )$ $y^2 = -(x-2)^2 + 4$ $(x-2)^2 + y^2 = 4 = 2^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R=2$. График функции $y = \sqrt{4x - x^2}$ — это верхняя полуокружность. Пределы интегрирования от $x=0$ до $x=4$ соответствуют точкам пересечения окружности с осью абсцисс. Таким образом, искомая площадь — это площадь полукруга радиуса 2. Площадь полукруга равна $S_{1/2} = \frac{1}{2} \pi R^2$. Подставляя $R=2$, получаем: $S = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.

Ответ: $ 2\pi $

4) Рассмотрим интеграл $ \int_1^2 \sqrt{2x - x^2} dx $. Подынтегральная функция $y = \sqrt{2x - x^2}$. Преобразуем уравнение $y = \sqrt{2x - x^2}$ (при $y \ge 0$), выделив полный квадрат: $y^2 = 2x - x^2$ $y^2 = -(x^2 - 2x)$ $y^2 = -( (x^2 - 2x + 1) - 1 )$ $y^2 = -(x-1)^2 + 1$ $(x-1)^2 + y^2 = 1 = 1^2$ Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R=1$. График функции $y = \sqrt{2x - x^2}$ — это верхняя полуокружность. Пределы интегрирования от $x=1$ до $x=2$. Это соответствует отрезку от центра окружности $(1, 0)$ до её крайней правой точки $(2, 0)$. Таким образом, искомая площадь — это площадь четверти круга радиуса 1. Площадь четверти круга равна $S_{1/4} = \frac{1}{4} \pi R^2$. Подставляя $R=1$, получаем: $S = \frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $ \frac{\pi}{4} $