Номер 5.23, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -x^2 + 4x$ и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения параболы с осью абсцисс.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги: найти точки пересечения параболы с осью абсцисс, составить уравнения касательных в этих точках, найти точку пересечения касательных и, наконец, вычислить площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение точек пересечения параболы с осью абсцисс (Ox)

Точки пересечения графика функции $y = -x^2 + 4x$ с осью абсцисс находятся при условии $y = 0$.

Решим уравнение:

$-x^2 + 4x = 0$

$x(-x + 4) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Таким образом, парабола пересекает ось Ox в точках $A(0, 0)$ и $B(4, 0)$. Это и есть точки, в которых нужно провести касательные.

2. Составление уравнений касательных

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную нашей функции $f(x) = -x^2 + 4x$:

$f'(x) = (-x^2 + 4x)' = -2x + 4$.

Теперь найдем уравнения для каждой точки.

Касательная в точке A(0, 0):

Здесь $x_0 = 0$.

$f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$.

Значение производной (угловой коэффициент) в этой точке: $f'(0) = -2(0) + 4 = 4$.

Подставляем значения в формулу касательной:

$y = 0 + 4(x - 0) \implies y_1 = 4x$.

Касательная в точке B(4, 0):

Здесь $x_0 = 4$.

$f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$.

Значение производной в этой точке: $f'(4) = -2(4) + 4 = -8 + 4 = -4$.

Подставляем значения в формулу касательной:

$y = 0 + (-4)(x - 4) \implies y_2 = -4x + 16$.

3. Вычисление площади фигуры

Фигура ограничена снизу параболой $y = -x^2 + 4x$, а сверху — двумя касательными: $y_1 = 4x$ на отрезке от $x=0$ до точки их пересечения и $y_2 = -4x + 16$ на отрезке от точки их пересечения до $x=4$.

Найдем точку пересечения касательных, приравняв их уравнения:

$4x = -4x + 16$

$8x = 16$

$x = 2$

Таким образом, касательные пересекаются в точке с абсциссой $x=2$.

Площадь $S$ фигуры можно вычислить как сумму двух интегралов. Площадь — это интеграл от разности "верхней" и "нижней" функций.

На отрезке $[0, 2]$ верхняя функция — это $y_1 = 4x$, нижняя — $y = -x^2 + 4x$.

На отрезке $[2, 4]$ верхняя функция —