Номер 5.21, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ и двумя касательными к этому графику, проходящими через точку на оси $Oy$ и образующими между собой прямой угол.

Для решения задачи необходимо найти уравнения двух касательных, удовлетворяющих условиям, а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими касательными и графиком исходной функции.

1. Нахождение уравнения касательной в общем виде

Исходная функция — это парабола $y = f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 3$.

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right)' = -x$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $k = f'(x_0) = -x_0$.

Значение функции в точке касания: $y_0 = f(x_0) = -\frac{1}{2}x_0^2 + 3$.

Подставим эти выражения в общее уравнение касательной:

$y = \left(-\frac{1}{2}x_0^2 + 3\right) + (-x_0)(x - x_0)$

$y = -\frac{1}{2}x_0^2 + 3 - x_0x + x_0^2$

$y = -x_0x + \frac{1}{2}x_0^2 + 3$

Это уравнение касательной в общем виде для любой точки $x_0$ на параболе.

2. Использование условий задачи для нахождения точки пересечения касательных

По условию, обе касательные проходят через одну и ту же точку на оси $Oy$. Координаты этой точки $(0, b)$. Подставим их в уравнение касательной, чтобы связать $b$ и $x_0$:

$b = -x_0 \cdot 0 + \frac{1}{2}x_0^2 + 3$

$b = \frac{1}{2}x_0^2 + 3$

Из этого соотношения выразим $x_0^2$:

$x_0^2 = 2(b - 3)$

Это уравнение показывает, что для точки пересечения $(0, b)$ существуют две симметричные точки касания с абсциссами $x_1 = \sqrt{2(b-3)}$ и $x_2 = -\sqrt{2(b-3)}$.

Второе условие — касательные образуют прямой угол, то есть они перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых: произведение их угловых коэффициентов $k_1$ и $k_2$ равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$).

Найдем угловые коэффициенты для наших двух касательных:

$k_1 = f'(x_1) = -x_1 = -\sqrt{2(b-3)}$

$k_2 = f'(x_2) = -x_2 = -(-\sqrt{2(b-3)}) = \sqrt{2(b-3)}$

Теперь применим условие перпендикулярности:

$(-\sqrt{2(b-3)}) \cdot (\sqrt{2(b-3)}) = -1$

$-(2(b-3)) = -1$

$2(b-3) = 1$

$b - 3 = \frac{1}{2}$

$b = 3.5$

Таким образом, точка пересечения касательных на оси $Oy$ имеет координаты $(0, 3.5)$.

3. Нахождение уравнений касательных и пределов интегрирования

Зная $b = 3.5$, найдем абсциссы точек касания:

$x_0^2 = 2(3.5 - 3) = 2(0.5) = 1$.

Отсюда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Теперь найдем уравнения двух касательных:

• Для $x_1 = -1$: угловой коэффициент $k_1 = -(-1) = 1$. Уравнение касательной: $y = 1 \cdot x + 3.5$, то есть $y_1 = x + 3.5$.
• Для $x_2 = 1$: угловой коэффициент $k_2 = -(1) = -1$. Уравнение касательной: $y = -1 \cdot x + 3.5$, то есть $y_2 = -x + 3.5$.

Искомая фигура ограничена снизу параболой $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ и сверху двумя касательными $y = x + 3.5$ и $y = -x + 3.5$. Пределы интегрирования по оси $x$ определяются абсциссами точек касания, то есть от -1 до 1.

4. Вычисление площади фигуры

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу. Фигура симметрична относительно оси $Oy$. Поэтому можно вычислить площадь для $x \in [0, 1]$ и удвоить результат. На этом промежутке верхняя граница задается касательной $y = -x + 3.5$.

$S = \int_{-1}^{1} (\text{верхняя граница} - \text{нижняя граница}) \,dx = 2 \int_{0}^{1} \left( (-x + 3.5) - \left(-\frac{1}{2}x^2 + 3\right) \right) dx$

Упростим подынтегральное выражение:

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( -x + 3.5 + \frac{1}{2}x^2 - 3 \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + 0.5 \right) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 0.5x \right]_0^1 = 2 \left[ \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_0^1$

Подставим пределы интегрирования:

$S = 2 \left( \left( \frac{1^3}{6} - \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{0^3}{6} - \frac{0^2}{2} + \frac{0}{2} \right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.