Номер 5.25, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.25. В каком соотношении делится площадь четырехугольника ABCD, где A(-4; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(4; 0), параболой $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$?

1. Определим вид четырехугольника и найдем его площадь.

Заданный четырехугольник имеет вершины с координатами A(-4; 0), B(-2; 4), C(2; 4), D(4; 0).

Основание AD лежит на оси Ox, так как ординаты точек A и D равны 0. Длина этого основания: $AD = 4 - (-4) = 8$.

Сторона BC параллельна оси Ox, так как ординаты точек B и C равны 4. Длина этой стороны: $BC = 2 - (-2) = 4$.

Поскольку две стороны четырехугольника (AD и BC) параллельны, а две другие (AB и CD) нет, то ABCD — трапеция. Высота трапеции равна разности ординат параллельных сторон: $h = 4 - 0 = 4$.

Площадь трапеции ABCD вычисляется по формуле:

$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{8 + 4}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24$.

2. Проанализируем положение параболы относительно трапеции.

Парабола задана уравнением $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$.

Проверим, проходят ли вершины трапеции через эту параболу.

Для точки B(-2; 4): $y(-2) = \frac{1}{2}(-2)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка B лежит на параболе.

Для точки C(2; 4): $y(2) = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = \frac{1}{2} \cdot 4 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка C лежит на параболе.

Таким образом, парабола проходит через верхние вершины трапеции B и C и делит ее на две части: верхнюю ($S_2$), ограниченную сверху отрезком BC, и нижнюю ($S_1$), ограниченную снизу отрезками AB, AD и CD.

3. Найдем площадь верхней части ($S_2$).

Площадь $S_2$ — это площадь фигуры, ограниченной сверху прямой $y=4$ (отрезок BC) и снизу параболой $y = \frac{1}{2}x^2 + 2$ в пределах от $x=-2$ до $x=2$. Эту площадь можно найти с помощью определенного интеграла:

$S_2 = \int_{-2}^{2} \left(4 - \left(\frac{1}{2}x^2 + 2\right)\right) dx = \int_{-2}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx$.

Так как подынтегральная функция $f(x) = 2 - \frac{1}{2}x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), интеграл можно вычислить как:

$S_2 = 2 \int_{0}^{2} \left(2 - \frac{1}{2}x^2\right) dx = 2 \left[2x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{2} = 2 \left[2x - \frac{x^3}{6}\right]_{0}^{2}$.

$S_2 = 2 \left(\left(2 \cdot 2 - \frac{2^3}{6}\right) - (0)\right) = 2 \left(4 - \frac{8}{6}\right) = 2 \left(4 - \frac{4}{3}\right) = 2 \left(\frac{12-4}{3}\right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

4. Найдем площадь нижней части ($S_1$).

Площадь нижней части $S_1$ можно найти, вычтя площадь верхней части $S_2$ из общей площади трапеции $S_{ABCD}$:

$S_1 = S_{ABCD} - S_2 = 24 - \frac{16}{3} = \frac{72}{3} - \frac{16}{3} = \frac{56}{3}$.

5. Найдем искомое соотношение площадей.

Парабола делит площадь трапеции на две части с площадями $S_1 = \frac{56}{3}$ и $S_2 = \frac{16}{3}$. Найдем их отношение:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{56/3}{16/3} = \frac{56}{16}$.

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, который равен 8:

$\frac{56 \div 8}{16 \div 8} = \frac{7}{2}$.

Следовательно, площади относятся как 7:2.

Ответ: Парабола делит площадь четырехугольника в соотношении 7:2.