Номер 5.20, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.20. Найдите объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = \left| |x - 1| - 2 \right|$, $y = 0$, $x = 0$, вокруг оси абсцисс.

Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле дисков. Если трапеция ограничена графиком функции $y = f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, то объем $V$ равен:

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

В нашем случае, криволинейная трапеция ограничена линиями $y = ||x - 1| - 2|$, $y = 0$ и $x = 0$. Сначала определим пределы интегрирования. Один из пределов задан как $x = 0$. Другой предел найдем, определив, где график функции $y = ||x - 1| - 2|$ пересекает ось $Ox$ (то есть, где $y=0$).

$||x - 1| - 2| = 0$

Это равносильно уравнению:

$|x - 1| - 2 = 0$

$|x - 1| = 2$

Данное уравнение с модулем распадается на два случая:

1) $x - 1 = 2 \implies x = 3$

2) $x - 1 = -2 \implies x = -1$

Так как область ограничена прямой $x=0$, мы рассматриваем область на оси $x$ от 0 до следующего пересечения с осью $Ox$, то есть до $x=3$. Таким образом, пределы интегрирования $a = 0$ и $b = 3$.

Теперь подставим функцию и пределы в формулу для объема:

$V = \pi \int_0^3 (||x - 1| - 2|)^2 dx$

Поскольку возведение в квадрат убирает внешний модуль, выражение упрощается:

$V = \pi \int_0^3 (|x - 1| - 2)^2 dx$

Для вычисления этого интеграла необходимо раскрыть внутренний модуль $|x - 1|$. Выражение $x-1$ меняет знак в точке $x=1$. Поэтому разобьем интеграл на два на промежутках $[0, 1]$ и $[1, 3]$.

На промежутке $[0, 1]$, $|x - 1| = -(x-1) = 1 - x$.

На промежутке $[1, 3]$, $|x - 1| = x - 1$.

Тогда интеграл можно записать в виде суммы двух интегралов:

$V = \pi \left( \int_0^1 ((1 - x) - 2)^2 dx + \int_1^3 ((x - 1) - 2)^2 dx \right)$

$V = \pi \left( \int_0^1 (-x - 1)^2 dx + \int_1^3 (x - 3)^2 dx \right)$

$V = \pi \left( \int_0^1 (x + 1)^2 dx + \int_1^3 (x - 3)^2 dx \right)$

Вычислим каждый интеграл:

$\int_0^1 (x + 1)^2 dx = \left[ \frac{(x + 1)^3}{3} \right]_0^1 = \frac{(1+1)^3}{3} - \frac{(0+1)^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$

$\int_1^3 (x - 3)^2 dx = \left[ \frac{(x - 3)^3}{3} \right]_1^3 = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(1-3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3}$

Суммируем полученные значения, чтобы найти общий объем:

$V = \pi \left( \frac{7}{3} + \frac{8}{3} \right) = \pi \left( \frac{15}{3} \right) = 5\pi$

Ответ: $5\pi$.