Номер 5.22, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.22. Чему равна площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ и касательными, проведенными к этому графику в точках пересечения параболы с осью абсцисс?

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$ и касательными к нему в точках пересечения с осью абсцисс, выполним следующие шаги.

1. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Для этого необходимо решить уравнение $y=0$:

$-\frac{1}{4}x^2 + 1 = 0$

$\frac{1}{4}x^2 = 1$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем две точки пересечения, в которых будут проведены касательные: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Координаты этих точек: $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Найдем уравнения касательных к графику в найденных точках.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 1$:

$f'(x) = \left(-\frac{1}{4}x^2 + 1\right)' = -\frac{1}{4} \cdot 2x = -\frac{1}{2}x$.

Теперь составим уравнения для каждой точки.

Для точки $x_1 = -2$:

$f(-2) = -\frac{1}{4}(-2)^2 + 1 = 0$.

$f'(-2) = -\frac{1}{2}(-2) = 1$.

Уравнение первой касательной ($y_1$):

$y_1 = 0 + 1 \cdot (x - (-2)) \Rightarrow y_1 = x + 2$.

Для точки $x_2 = 2$:

$f(2) = -\frac{1}{4}(2)^2 + 1 = 0$.

$f'(2) = -\frac{1}{2}(2) = -1$.

Уравнение второй касательной ($y_2$):

$y_2 = 0 + (-1) \cdot (x - 2) \Rightarrow y_2 = -x + 2$.

3. Вычислим площадь искомой фигуры.

Фигура ограничена снизу параболой $y = -\frac{1}{4}x^2 + 1$, а сверху — двумя касательными: $y_1 = x+2$ на промежутке $[-2, 0]$ и $y_2 = -x+2$ на промежутке $[0, 2]$.

Площадь $S$ можно найти как интеграл от разности функции, ограничивающей фигуру сверху, и функции, ограничивающей ее снизу.Фигура симметрична относительно оси $Oy$, поэтому можно вычислить площадь ее правой половины (от $x=0$ до $x=2$) и умножить результат на 2.

На промежутке $[0, 2]$ фигура сверху ограничена касательной $y_2 = -x+2$, а снизу — параболой $y = -\frac{1}{4}x^2+1$.

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( (-x+2) - \left(-\frac{1}{4}x^2+1\right) \right) dx$

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( -x+2 + \frac{1}{4}x^2-1 \right) dx$

$S = 2 \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 \right) dx$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$S = 2 \left[ \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2 = 2 \left[ \frac{x^3}{12} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2$

$S = 2 \left( \left(\frac{2^3}{12} - \frac{2^2}{2} + 2\right) - \left(\frac{0^3}{12} - \frac{0^2}{2} + 0\right) \right)$

$S = 2 \left( \frac{8}{12} - \frac{4}{2} + 2 - 0 \right) = 2 \left( \frac{2}{3} - 2 + 2 \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.