Номер 5.28, страница 49 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.28. Найдите первообразную функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми: $y = 6x + 3$ и $y = 0$.

Найдите первообразную функции $f(x) = 2x + 4$, график которой касается прямой $y = 6x + 3$

Общий вид первообразной для функции $f(x) = 2x + 4$ находится путем интегрирования:$F(x) = \int (2x + 4) dx = 2\frac{x^2}{2} + 4x + C = x^2 + 4x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Условие касания графика первообразной $F(x)$ и прямой $y = 6x + 3$ в точке с абсциссой $x_0$ означает, что в этой точке производная первообразной равна угловому коэффициенту касательной, а значения функций совпадают.

Производная первообразной $F'(x)$ есть исходная функция $f(x) = 2x + 4$. Угловой коэффициент прямой $y=6x+3$ равен 6. Найдем абсциссу точки касания $x_0$:$F'(x_0) = 6$$2x_0 + 4 = 6$$2x_0 = 2$$x_0 = 1$.

Теперь найдем постоянную $C$, используя условие равенства значений функций в точке касания $x_0 = 1$:$F(1) = 6(1) + 3 = 9$.С другой стороны, из формулы для первообразной:$F(1) = (1)^2 + 4(1) + C = 5 + C$.Приравнивая полученные значения, находим $C$:$5 + C = 9$$C = 4$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + 4x + 4$. Ее можно также записать как $F(x) = (x+2)^2$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 4x + 4$.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми: $y = 6x + 3$ и $y = 0$

Фигура ограничена тремя линиями: параболой $y = x^2 + 4x + 4$ (или $y = (x+2)^2$), прямой $y = 6x + 3$ и осью абсцисс $y = 0$.

Для определения границ интегрирования найдем точки пересечения этих линий.

Парабола $y = (x+2)^2$ пересекает ось $y=0$ в точке, где $(x+2)^2 = 0$, то есть при $x = -2$. Точка пересечения $(-2, 0)$.

Прямая $y = 6x + 3$ пересекает ось $y=0$ в точке, где $6x + 3 = 0$, то есть при $x = -1/2$. Точка пересечения $(-1/2, 0)$.

Парабола и прямая касаются в точке с абсциссой $x=1$ и ординатой $y = 6(1) + 3 = 9$. Точка касания $(1, 9)$.

Фигура представляет собой криволинейный треугольник, ограниченный снизу осью $y=0$, слева дугой параболы и справа отрезком прямой. Его площадь можно найти как разность площади криволинейной трапеции под параболой на отрезке $[-2, 1]$ и площади треугольника под прямой на отрезке $[-1/2, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется как разность двух интегралов:$S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx - \int_{-1/2}^{1} (6x + 3) dx$.

Вычислим первый интеграл:$\int_{-2}^{1} (x^2 + 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{1}$$= \left( \frac{1^3}{3} + 2(1)^2 + 4(1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2) \right)$$= \left( \frac{1}{3} + 6 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 8 - 8 \right) = \frac{19}{3} - (-\frac{8}{3}) = \frac{27}{3} = 9$.

Вычислим второй интеграл:$\int_{-1/2}^{1} (6x + 3) dx = \left[ 3x^2 + 3x \right]_{-1/2}^{1}$$= (3(1)^2 + 3(1)) - (3(-\frac{1}{2})^2 + 3(-\frac{1}{2})) = (3 + 3) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{2}) = 6 - (-\frac{3}{4}) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$.

Искомая площадь равна разности вычисленных значений:$S = 9 - \frac{27}{4} = \frac{36 - 27}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$.

Ответ: $S = \frac{9}{4}$.