Номер 3, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

3. На каком из рисунков изображен график первообразных для некоторой функции?

A)

B)

C)

D)

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение и свойства первообразной. Первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке называется такая функция $F(x)$, производная которой на этом промежутке равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Из этого определения следуют два ключевых свойства, которые помогут нам выбрать правильный график:

1. Так как первообразная $F(x)$ имеет производную, она по определению является дифференцируемой функцией. Важным следствием дифференцируемости является непрерывность функции. Следовательно, график любой первообразной должен быть гладкой, непрерывной кривой, без разрывов, острых углов или изломов.

2. Если $F(x)$ — это одна из первообразных для функции $f(x)$, то множество всех первообразных для $f(x)$ описывается формулой $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Геометрически это означает, что графики всех первообразных для одной и той же функции являются копиями друг друга, полученными путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков с учетом этих свойств.

A) На этом графике изображена функция, которая имеет острые пики (точки излома), в которых она не является дифференцируемой. Поскольку первообразная по определению должна быть дифференцируемой во всех точках своей области определения, этот график не может представлять первообразную.

B) График этой функции также имеет точки излома, похожие на "уголки". В этих точках функция недифференцируема. Следовательно, это также не может быть график первообразной.

C) На этом рисунке мы видим семейство гладких, непрерывных кривых. Каждая из этих кривых дифференцируема в любой точке. Кроме того, видно, что каждая кривая может быть получена из любой другой путем сдвига по вертикали. Это в точности соответствует графическому представлению семейства первообразных $F(x) + C$ для некоторой функции $f(x)$.

D) На этом графике изображена функция с точками разрыва (скачками). Дифференцируемая функция обязательно должна быть непрерывной. Так как первообразная по определению является дифференцируемой, она не может иметь разрывов. Таким образом, этот график не может быть графиком первообразной.

Исходя из проведенного анализа, единственным графиком, который удовлетворяет всем необходимым свойствам семейства первообразных, является график на рисунке C).

Ответ: C