Номер 4, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4. На каком множестве функция $F(x) = \frac{3}{x - 2}$ не является первообразной

для функции $f(x) = -\frac{3}{(x - 2)^2}$:

A) $(-\infty; 0);

B) $(2; +\infty);

C) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty);

D) $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)?

Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на некотором множестве, необходимо выполнение двух условий на этом множестве:

1. Функция $F(x)$ должна быть дифференцируема.

2. Производная функции $F(x)$ должна быть равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала проверим второе условие, найдя производную функции $F(x) = \frac{3}{x-2}$.

Представим функцию в виде $F(x) = 3(x-2)^{-1}$. Используем правило дифференцирования степенной функции:

$F'(x) = (3(x-2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -3(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Таким образом, второе условие выполняется для всех $x$, при которых функция $F(x)$ дифференцируема.

Теперь рассмотрим первое условие. Функция $F(x)$ является дифференцируемой на всей своей области определения. Область определения функции $F(x) = \frac{3}{x-2}$ — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Следовательно, функция $F(x)$ не определена и, соответственно, не дифференцируема в точке $x=2$. Таким образом, $F(x)$ не может быть первообразной для $f(x)$ на любом множестве, которое содержит точку $x=2$.

Проанализируем предложенные множества:

A) $(-\infty; 0)$ — этот интервал не содержит точку $x=2$. На этом множестве $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

B) $(2; +\infty)$ — этот интервал не содержит точку $x=2$. На этом множестве $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

C) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ — это множество является областью определения функции $F(x)$ и не содержит точку $x=2$. На этом множестве $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

D) $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$ — это множество содержит интервал $(-2; 4)$, в который входит точка $x=2$. Поскольку в точке $x=2$ функция $F(x)$ не дифференцируема, она не является первообразной для $f(x)$ на всем множестве $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$.

Ответ: D) $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$