Страница 50 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

2. Какая функция является первообразной для функции $f(x) = 5x^4 - 2x$:

A) $F(x) = 20x^4 + 8;$

B) $F(x) = x^5 + x^2;$

C) $F(x) = 20x^4 - 8;$

D) $F(x) = x^5 - x^2$?

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если ее производная равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Мы можем найти первообразную, вычислив неопределенный интеграл от $f(x)$, или проверить каждый из предложенных вариантов, найдя его производную.

Способ 1: Интегрирование

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x^4 - 2x$ с помощью интегрирования. Используем правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int (5x^4 - 2x) dx = \int 5x^4 dx - \int 2x dx$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^5 - x^2 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная. Среди предложенных вариантов ищем функцию, которая соответствует этому виду. Вариант D) $F(x) = x^5 - x^2$ получается при $C=0$.

Способ 2: Дифференцирование предложенных вариантов

Проверим, производная какой из предложенных функций $F(x)$ равна $f(x) = 5x^4 - 2x$.

A) Для $F(x) = 20x^4 + 8$ производная равна $F'(x) = (20x^4 + 8)' = 20 \cdot 4x^3 + 0 = 80x^3$. Это не равно $f(x)$.

B) Для $F(x) = x^5 + x^2$ производная равна $F'(x) = (x^5 + x^2)' = 5x^4 + 2x$. Это не равно $f(x)$.

C) Для $F(x) = 20x^4 - 8$ производная равна $F'(x) = (20x^4 - 8)' = 20 \cdot 4x^3 - 0 = 80x^3$. Это не равно $f(x)$.

D) Для $F(x) = x^5 - x^2$ производная равна $F'(x) = (x^5 - x^2)' = 5x^4 - 2x$. Это в точности совпадает с $f(x)$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: D

3. На каком из рисунков изображен график первообразных для некоторой функции?

A)

B)

C)

D)

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение и свойства первообразной. Первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке называется такая функция $F(x)$, производная которой на этом промежутке равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Из этого определения следуют два ключевых свойства, которые помогут нам выбрать правильный график:

1. Так как первообразная $F(x)$ имеет производную, она по определению является дифференцируемой функцией. Важным следствием дифференцируемости является непрерывность функции. Следовательно, график любой первообразной должен быть гладкой, непрерывной кривой, без разрывов, острых углов или изломов.

2. Если $F(x)$ — это одна из первообразных для функции $f(x)$, то множество всех первообразных для $f(x)$ описывается формулой $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Геометрически это означает, что графики всех первообразных для одной и той же функции являются копиями друг друга, полученными путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков с учетом этих свойств.

A) На этом графике изображена функция, которая имеет острые пики (точки излома), в которых она не является дифференцируемой. Поскольку первообразная по определению должна быть дифференцируемой во всех точках своей области определения, этот график не может представлять первообразную.

B) График этой функции также имеет точки излома, похожие на "уголки". В этих точках функция недифференцируема. Следовательно, это также не может быть график первообразной.

C) На этом рисунке мы видим семейство гладких, непрерывных кривых. Каждая из этих кривых дифференцируема в любой точке. Кроме того, видно, что каждая кривая может быть получена из любой другой путем сдвига по вертикали. Это в точности соответствует графическому представлению семейства первообразных $F(x) + C$ для некоторой функции $f(x)$.

D) На этом графике изображена функция с точками разрыва (скачками). Дифференцируемая функция обязательно должна быть непрерывной. Так как первообразная по определению является дифференцируемой, она не может иметь разрывов. Таким образом, этот график не может быть графиком первообразной.

Исходя из проведенного анализа, единственным графиком, который удовлетворяет всем необходимым свойствам семейства первообразных, является график на рисунке C).

Ответ: C

4. На каком множестве функция $F(x) = \frac{3}{x - 2}$ не является первообразной

для функции $f(x) = -\frac{3}{(x - 2)^2}$:

A) $(-\infty; 0);

B) $(2; +\infty);

C) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty);

D) $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)?

Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на некотором множестве, необходимо выполнение двух условий на этом множестве:

1. Функция $F(x)$ должна быть дифференцируема.

2. Производная функции $F(x)$ должна быть равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала проверим второе условие, найдя производную функции $F(x) = \frac{3}{x-2}$.

Представим функцию в виде $F(x) = 3(x-2)^{-1}$. Используем правило дифференцирования степенной функции:

$F'(x) = (3(x-2)^{-1})' = 3 \cdot (-1) \cdot (x-2)^{-1-1} \cdot (x-2)' = -3(x-2)^{-2} \cdot 1 = -\frac{3}{(x-2)^2}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Таким образом, второе условие выполняется для всех $x$, при которых функция $F(x)$ дифференцируема.

Теперь рассмотрим первое условие. Функция $F(x)$ является дифференцируемой на всей своей области определения. Область определения функции $F(x) = \frac{3}{x-2}$ — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Следовательно, функция $F(x)$ не определена и, соответственно, не дифференцируема в точке $x=2$. Таким образом, $F(x)$ не может быть первообразной для $f(x)$ на любом множестве, которое содержит точку $x=2$.

Проанализируем предложенные множества:

A) $(-\infty; 0)$ — этот интервал не содержит точку $x=2$. На этом множестве $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

B) $(2; +\infty)$ — этот интервал не содержит точку $x=2$. На этом множестве $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

C) $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$ — это множество является областью определения функции $F(x)$ и не содержит точку $x=2$. На этом множестве $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

D) $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$ — это множество содержит интервал $(-2; 4)$, в который входит точка $x=2$. Поскольку в точке $x=2$ функция $F(x)$ не дифференцируема, она не является первообразной для $f(x)$ на всем множестве $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$.

Ответ: D) $(-\infty; -2) \cup (-2; 4)$

5. Укажите первообразную функцию $y(x) = x^2 - 2x$, график которой проходит через точку $A(-1; 1)$:

A) $F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2 + \frac{1}{3}$;

B) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 - \frac{1}{3}$;

C) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{1}{3}$;

D) $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{4}{3}$.

Для того чтобы найти первообразную функции $y(x) = x^2 - 2x$, график которой проходит через точку A(-1; 1), необходимо сначала найти общий вид первообразной для данной функции, а затем, используя координаты точки, определить значение константы интегрирования.

Сначала найдем общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования функции $y(x)$. Используем правило интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = \int (x^2 - 2x) dx = \int x^2 dx - \int 2x dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} + C$

Выполнив вычисления, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Далее, используем условие, что график первообразной проходит через точку A(-1; 1). Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ должно быть равно 1. Подставим эти значения в найденное уравнение:

$F(-1) = 1$

$\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + C = 1$

$\frac{-1}{3} - 1 + C = 1$

$-\frac{1}{3} - \frac{3}{3} + C = 1$

$-\frac{4}{3} + C = 1$

Теперь найдем значение константы $C$:

$C = 1 + \frac{4}{3} = \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}$

Подставив найденное значение $C$ обратно в общий вид первообразной, мы получаем искомую функцию:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{7}{3}$

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, можно заключить, что правильного ответа среди них нет, так как, вероятно, в условии задачи или в вариантах ответов допущена опечатка. На основе приведенных данных, верным решением является выведенная выше функция.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{7}{3}$

6. Какие правила нахождения первообразных необходимо применить, чтобы найти первообразную функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$:

A) правило 1;

B) правило 2;

C) правила 2 и 3;

D) правило 3?

Для нахождения первообразной функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$ необходимо определить, какие правила интегрирования следует применить. Первообразная находится путем вычисления неопределенного интеграла $\int 5\sin(0.5x) dx$.

Проанализируем структуру функции и сопоставим её со стандартными правилами нахождения первообразных. Обычно под правилами 1, 2 и 3 подразумевают следующие:

Правило 1: Первообразная суммы/разности функций равна сумме/разности их первообразных. Если $F(x)$ и $G(x)$ — первообразные для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно, то $F(x) \pm G(x)$ — первообразная для $f(x) \pm g(x)$.

Правило 2: Постоянный множитель можно вынести за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $k \cdot F(x)$ — первообразная для $k \cdot f(x)$. Формула: $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$.

Правило 3: Правило нахождения первообразной для сложной функции вида $f(kx+b)$. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $\frac{1}{k}F(kx+b)$ — первообразная для $f(kx+b)$. Формула: $\int f(kx+b) dx = \frac{1}{k}F(kx+b) + C$.

Теперь применим эти правила к нашей функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$:

1. Функция $f(x)$ содержит постоянный множитель $k=5$. Чтобы найти ее первообразную, мы должны вынести этот множитель за знак интеграла. Это требует применения правила 2:

$\int 5\sin(0.5x) dx = 5 \int \sin(0.5x) dx$.

2. После вынесения константы нам нужно найти первообразную для функции $\sin(0.5x)$. Эта функция имеет вид $f(kx+b)$, где $f(u) = \sin(u)$, $k=0.5$ и $b=0$. Первообразной для $\sin(u)$ является $-\cos(u)$. Для нахождения первообразной от $\sin(0.5x)$ мы должны использовать правило 3:

$\int \sin(0.5x) dx = \frac{1}{0.5}(-\cos(0.5x)) + C = -2\cos(0.5x) + C$.

Правило 1 в данном случае не используется, так как исходная функция не является суммой или разностью двух функций.

Таким образом, для нахождения первообразной функции $f(x) = 5\sin(0.5x)$ необходимо применить и правило 2, и правило 3.

Полный процесс нахождения первообразной $F(x)$ выглядит так:

$F(x) = \int 5\sin(0.5x) dx = 5 \int \sin(0.5x) dx = 5 \cdot \left(\frac{1}{0.5}(-\cos(0.5x))\right) + C = 5 \cdot (-2\cos(0.5x)) + C = -10\cos(0.5x) + C$.

Следовательно, верным является вариант ответа, который указывает на необходимость применения правил 2 и 3.

Ответ: C) правила 2 и 3;.