Страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

6.2. Дан числовой ряд: 5, 9, 4, 8, 6, 8, 5, 9, 4, 4, 5, 4, 9, 8, 6, 6, 8, 9, 4, 8, 5, 8, 5, 8, 9. Найдите объем выборки, варианты выборки, составьте вариационный ряд частоты и вариационный ряд относительной частоты и относительных частот в процентах.

Объем выборки

Объем выборки — это общее количество элементов в данном числовом ряду. Для нахождения объема выборки необходимо посчитать все числа в предоставленном ряду: 5, 9, 4, 8, 6, 8, 5, 9, 4, 4, 5, 4, 9, 8, 6, 8, 9, 4, 8, 5, 8, 5, 8, 9.

В ряду 24 числа. Следовательно, объем выборки $n$ равен 24.

Ответ: 24.

Варианты выборки

Варианты выборки — это уникальные значения, которые встречаются в числовом ряду. Выпишем все уникальные числа из данного ряда и расположим их в порядке возрастания.

Уникальные числа: 4, 5, 6, 8, 9.

Ответ: 4, 5, 6, 8, 9.

Вариационный ряд частот

Вариационный ряд частот показывает, сколько раз каждая варианта встречается в выборке. Для его составления посчитаем частоту ($m_i$) для каждой варианты ($x_i$).

1. Сгруппируем одинаковые значения и посчитаем их количество:

- Число 4 встречается 5 раз.

- Число 5 встречается 5 раз.

- Число 6 встречается 2 раза.

- Число 8 встречается 7 раз.

- Число 9 встречается 5 раз.

2. Проверим, что сумма всех частот равна объему выборки: $5 + 5 + 2 + 7 + 5 = 24 = n$.

3. Представим вариационный ряд частот в виде таблицы:

Варианта ($x_i$): 4 | 5 | 6 | 8 | 9

Частота ($m_i$): 5 | 5 | 2 | 7 | 5

Ответ: Вариационный ряд частот: для вариант 4, 5, 6, 8, 9 соответствующие частоты равны 5, 5, 2, 7, 5.

Вариационный ряд относительной частоты

Относительная частота ($W_i$) показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки и вычисляется по формуле $W_i = \frac{m_i}{n}$, где $m_i$ — частота варианты, а $n$ — объем выборки ($n=24$).

Рассчитаем относительные частоты для каждой варианты:

- Для варианты 4: $W_1 = \frac{5}{24}$.

- Для варианты 5: $W_2 = \frac{5}{24}$.

- Для варианты 6: $W_3 = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$.

- Для варианты 8: $W_4 = \frac{7}{24}$.

- Для варианты 9: $W_5 = \frac{5}{24}$.

Сумма относительных частот должна быть равна 1: $\frac{5}{24} + \frac{5}{24} + \frac{2}{24} + \frac{7}{24} + \frac{5}{24} = \frac{24}{24} = 1$.

Представим вариационный ряд относительных частот в виде таблицы:

Варианта ($x_i$): 4 | 5 | 6 | 8 | 9

Относительная частота ($W_i$): $\frac{5}{24}$ | $\frac{5}{24}$ | $\frac{2}{24}$ | $\frac{7}{24}$ | $\frac{5}{24}$

Ответ: Вариационный ряд относительных частот: для вариант 4, 5, 6, 8, 9 соответствующие относительные частоты равны $\frac{5}{24}$, $\frac{5}{24}$, $\frac{2}{24}$ (или $\frac{1}{12}$), $\frac{7}{24}$, $\frac{5}{24}$.

Вариационный ряд относительных частот в процента

Для получения относительных частот в процентах необходимо умножить значения относительных частот на 100%. Формула: $W_i(\%) = W_i \times 100\%$.

Рассчитаем процентные значения (с округлением до двух знаков после запятой):

- Для варианты 4: $W_1(\%) = \frac{5}{24} \times 100\% \approx 20.83\%$.

- Для варианты 5: $W_2(\%) = \frac{5}{24} \times 100\% \approx 20.83\%$.

- Для варианты 6: $W_3(\%) = \frac{2}{24} \times 100\% \approx 8.33\%$.

- Для варианты 8: $W_4(\%) = \frac{7}{24} \times 100\% \approx 29.17\%$.

- Для варианты 9: $W_5(\%) = \frac{5}{24} \times 100\% \approx 20.83\%$.

Представим ряд в виде таблицы:

Варианта ($x_i$): 4 | 5 | 6 | 8 | 9

Относительная частота ($W_i, \%$): 20.83% | 20.83% | 8.33% | 29.17% | 20.83%

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах: для вариант 4, 5, 6, 8, 9 соответствующие относительные частоты в процентах равны приблизительно 20.83%, 20.83%, 8.33%, 29.17%, 20.83%.

6.3. Результаты оценок суммативного оценивания по алгебре и началам анализа за I четверть среди учащихся 10-х классов представлены в таблице 9.1:

Таблица 9.1

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

Для решения задачи сначала найдем объем выборки. Объем выборки — это общее количество всех оценок. В таблице представлено 5 строк и 10 столбцов с оценками, следовательно, объем выборки $n$ равен произведению количества строк на количество столбцов:

$n = 5 \times 10 = 50$

Далее составим вариационный ряд. Для этого нужно подсчитать, сколько раз встречается каждая оценка (найти частоту каждой варианты). В выборке присутствуют оценки «2», «3», «4» и «5».

Подсчитаем частоты ($n_i$):

Частота оценки «2»: $n_2 = 3$

Частота оценки «3»: $n_3 = 20$

Частота оценки «4»: $n_4 = 22$

Частота оценки «5»: $n_5 = 5$

Для проверки правильности подсчетов сложим все частоты. Сумма должна быть равна объему выборки:

$3 + 20 + 22 + 5 = 50$

Сумма частот совпадает с объемом выборки, значит, подсчеты верны. Теперь можно представить вариационный ряд в виде таблицы частот.

Ответ:

Объем выборки $n = 50$.

Вариационный ряд результатов (таблица частот):

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота ($W_i$) показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки. Она вычисляется по формуле: $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ – частота варианты, а $n$ – объем выборки.

Используя данные из первого пункта ($n=50$ и значения частот $n_i$), рассчитаем относительные частоты для каждой оценки:

Для оценки «2»: $W_2 = \frac{3}{50} = 0.06$

Для оценки «3»: $W_3 = \frac{20}{50} = 0.40$

Для оценки «4»: $W_4 = \frac{22}{50} = 0.44$

Для оценки «5»: $W_5 = \frac{5}{50} = 0.10$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1:

$0.06 + 0.40 + 0.44 + 0.10 = 1.00$

Расчеты верны. Составим вариационный ряд относительных частот в виде таблицы.

Ответ:

Вариационный ряд относительных частот:

6.4. Учащимся 10-х классов предложено назвать свою ожидаемую оценку по алгебре и началам анализа за I четверть. Результаты представлены в таблице 9.2:

Таблица 9.2

4 3 3 3 4 3 3 5 3 4

3 4 3 4 3 4 5 4 5 3

4 4 4 4 4 3 4 4 4 5

3 3 4 3 3 4 3 5 3 4

3 4 3 5 4 3 4 4 5 4

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

Объем выборки (обозначается как $n$) — это общее количество элементов в наборе данных. В представленной таблице 5 строк и 10 столбцов, следовательно, общее количество оценок составляет:

$n = 5 \times 10 = 50$

Таким образом, объем выборки равен 50.

Далее составим вариационный (статистический) ряд. Для этого определим уникальные значения в выборке (варианты) и подсчитаем, сколько раз каждое из них встречается (частота).

В данной выборке есть три варианта оценки: 3, 4 и 5.

Подсчитаем частоту ($m_i$) для каждой оценки:

- Частота оценки «3» ($m_3$) равна 20.

- Частота оценки «4» ($m_4$) равна 23.

- Частота оценки «5» ($m_5$) равна 7.

Проверим, что сумма всех частот равна объему выборки: $20 + 23 + 7 = 50$.

Теперь представим вариационный ряд в виде таблицы:

Ответ: Объем выборки равен 50. Вариационный ряд результатов представлен в таблице выше.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота ($W_i$) — это отношение частоты $m_i$ к общему объему выборки $n$. Она рассчитывается по формуле:

$W_i = \frac{m_i}{n}$

Используя найденные ранее частоты и объем выборки $n=50$, вычислим относительные частоты для каждой оценки:

- Для оценки «3»: $W_3 = \frac{20}{50} = 0.4$

- Для оценки «4»: $W_4 = \frac{23}{50} = 0.46$

- Для оценки «5»: $W_5 = \frac{7}{50} = 0.14$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0.4 + 0.46 + 0.14 = 1.00$.

Составим вариационный ряд относительных частот:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Чтобы получить относительную частоту в процентах, необходимо значение относительной частоты умножить на 100%.

Вычислим процентное значение для каждой оценки:

- Для оценки «3»: $0.4 \times 100\% = 40\%$

- Для оценки «4»: $0.46 \times 100\% = 46\%$

- Для оценки «5»: $0.14 \times 100\% = 14\%$

Сумма всех процентных значений должна быть равна 100%: $40\% + 46\% + 14\% = 100\%$.

Составим вариационный ряд относительных частот в процентах:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в таблице выше.

6.5. По вариационному ряду частот найдите объем выборки и постройте полигон частот (таблицы 9.3—9.4):

Таблица 9.3

1) $x_i$ 2 6 10 14
$n_i$ 5 8 6 6

Таблица 9.4

2) $x_i$ 4 6 8 10 12
$n_i$ 5 8 8 5 4

1)

Для вариационного ряда, представленного в Таблице 9.3, имеем следующие значения вариант $x_i$ и их частоты $n_i$:

Значения $x_i$: 2, 6, 10, 14.

Частоты $n_i$: 5, 8, 6, 6.

Объем выборки $n$ – это сумма всех частот $n_i$. Рассчитаем его:

$n = \sum n_i = 5 + 8 + 6 + 6 = 25$.

Для построения полигона частот на координатной плоскости откладываем по оси абсцисс значения вариант $x_i$, а по оси ординат – соответствующие им частоты $n_i$. Затем последовательно соединяем отрезками точки с координатами $(x_i, n_i)$.

В данном случае это будут точки: (2, 5), (6, 8), (10, 6) и (14, 6).

Ответ: Объем выборки $n = 25$. Полигон частот представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами (2, 5), (6, 8), (10, 6), (14, 6).

2)

Для вариационного ряда из Таблицы 9.4 имеем следующие значения вариант $x_i$ и их частоты $n_i$:

Значения $x_i$: 4, 6, 8, 10, 12.

Частоты $n_i$: 5, 8, 8, 5, 4.

Найдем объем выборки $n$ как сумму всех частот:

$n = \sum n_i = 5 + 8 + 8 + 5 + 4 = 30$.

Полигон частот строится путем соединения точек с координатами $(x_i, n_i)$ отрезками.

Для этого ряда получим следующие точки: (4, 5), (6, 8), (8, 8), (10, 5) и (12, 4).

Ответ: Объем выборки $n = 30$. Полигон частот представляет собой ломаную линию, последовательно соединяющую точки с координатами (4, 5), (6, 8), (8, 8), (10, 5), (12, 4).

6.6. В таблице приведены результаты измерения роста (в см) детей (табл. 9.5).

Таблица 9.5

55 56 57 56 54

57 59 56 58 58

56 58 59 59 57

55 55 54 57 59

58 57 54 60 56

По данным таблицы:

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

4) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

1) Составьте вариационный ряд результатов и найдите объем выборки.

Для начала определим объем выборки, то есть общее количество измерений. В таблице 5 строк и 5 столбцов, следовательно, объем выборки $n$ равен $5 \times 5 = 25$.

Далее составим вариационный ряд. Для этого выпишем все уникальные значения роста (варианты, $x_i$) из таблицы и подсчитаем, сколько раз каждое из них встречается (частота, $n_i$).

• Значение 54 см встречается 3 раза.
• Значение 55 см встречается 3 раза.
• Значение 56 см встречается 5 раз.
• Значение 57 см встречается 5 раз.
• Значение 58 см встречается 4 раза.
• Значение 59 см встречается 4 раза.
• Значение 60 см встречается 1 раз.

Проверим: $3+3+5+5+4+4+1 = 25$, что совпадает с объемом выборки.

Теперь представим вариационный ряд в виде таблицы.

Ответ: Объем выборки $n = 25$. Вариационный ряд представлен в таблице выше.

2) Составьте вариационный ряд относительных частот.

Относительная частота ($W_i$) для каждой варианты вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ – частота варианты, а $n$ – объем выборки. В нашем случае $n=25$.

• $W_{54} = 3 / 25 = 0.12$
• $W_{55} = 3 / 25 = 0.12$
• $W_{56} = 5 / 25 = 0.20$
• $W_{57} = 5 / 25 = 0.20$
• $W_{58} = 4 / 25 = 0.16$
• $W_{59} = 4 / 25 = 0.16$
• $W_{60} = 1 / 25 = 0.04$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0.12+0.12+0.20+0.20+0.16+0.16+0.04 = 1.00$.

Составим вариационный ряд, добавив строку с относительными частотами.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

3) Составьте вариационный ряд относительных частот в процентах.

Чтобы получить относительную частоту в процентах, нужно значение относительной частоты $W_i$ умножить на 100%.

• $W_{54}(\%) = 0.12 \times 100\% = 12\%$
• $W_{55}(\%) = 0.12 \times 100\% = 12\%$
• $W_{56}(\%) = 0.20 \times 100\% = 20\%$
• $W_{57}(\%) = 0.20 \times 100\% = 20\%$
• $W_{58}(\%) = 0.16 \times 100\% = 16\%$
• $W_{59}(\%) = 0.16 \times 100\% = 16\%$
• $W_{60}(\%) = 0.04 \times 100\% = 4\%$

Сумма всех относительных частот в процентах должна быть равна 100%: $12+12+20+20+16+16+4 = 100\%$.

Дополним нашу таблицу строкой с относительными частотами в процентах.

Ответ: Вариационный ряд относительных частот в процентах представлен в таблице выше.

4) Постройте полигон (многоугольник распределения) относительных частот в процентах.

Полигон частот – это ломаная линия, соединяющая точки, координаты которых соответствуют значениям вариант и их относительным частотам в процентах.

Для построения полигона нужно:

1. На горизонтальной оси (оси абсцисс) отложить значения роста детей (варианты $x_i$).
2. На вертикальной оси (оси ординат) отложить значения относительных частот в процентах ($W_i(\%)$).
3. Построить точки с координатами ($x_i$; $W_i(\%)$).
4. Последовательно соединить эти точки отрезками прямой.

Координаты точек для построения полигона:

• (54; 12)
• (55; 12)
• (56; 20)
• (57; 20)
• (58; 16)
• (59; 16)
• (60; 4)

Ответ: Полигон относительных частот в процентах строится на координатной плоскости путем последовательного соединения отрезками точек с координатами (54; 12), (55; 12), (56; 20), (57; 20), (58; 16), (59; 16), (60; 4), где по оси абсцисс откладывается рост в см, а по оси ординат – относительная частота в %.