Страница 56 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

1. Назовите основные термины математической статистики.

2. Чем отличается генеральная совокупность от выборки?

3. Что показывает полигон частот, полигон относительной частоты?

4. Как составляется таблица абсолютных и относительных частот для выборки?

1. Назовите основные термины математической статистики.

К основным терминам математической статистики относятся:

Генеральная совокупность — это всё множество исследуемых объектов, обладающих общим признаком.

Выборка (или выборочная совокупность) — это часть объектов, случайным образом отобранная из генеральной совокупности для изучения.

Объем совокупности или выборки ($N$ или $n$) — количество объектов в генеральной совокупности или выборке соответственно.

Варианта ($x_i$) — отдельное значение признака, которое он принимает в выборке.

Ранжированный ряд — это последовательность вариант, расположенных в порядке неубывания (или невозрастания).

Абсолютная частота ($n_i$) — это число, показывающее, сколько раз конкретная варианта $x_i$ встречается в выборке. Сумма всех абсолютных частот равна объему выборки: $\sum n_i = n$.

Относительная частота ($W_i$) — это отношение абсолютной частоты варианты к общему объему выборки. Рассчитывается по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$. Сумма всех относительных частот равна 1.

Статистические характеристики выборки — это числовые показатели, описывающие выборку, такие как среднее арифметическое, мода, медиана, размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

Ответ:

2. Чем отличается генеральная совокупность от выборки?

Основное отличие между генеральной совокупностью и выборкой заключается в их масштабе и назначении.

Генеральная совокупность — это полный, исчерпывающий набор всех возможных объектов или наблюдений, которые представляют интерес для исследования. Например, если мы хотим узнать средний рост всех жителей определенного города, то генеральной совокупностью будут все без исключения жители этого города. Изучение всей генеральной совокупности часто является невозможным, непрактичным или слишком дорогим.

Выборка — это ограниченная часть (подмножество) объектов, извлеченная из генеральной совокупности для анализа. Например, вместо измерения роста всех жителей города, мы измеряем рост 1000 случайно выбранных людей.

Таким образом, главное отличие: генеральная совокупность — это все элементы, а выборка — это часть этих элементов. Цель использования выборки — на основе ее анализа сделать выводы и обобщения о свойствах всей генеральной совокупности. Для того чтобы выводы были достоверными, выборка должна быть репрезентативной, то есть правильно отражать структуру и свойства генеральной совокупности.

Ответ:

3. Что показывает полигон частот, полигон относительной частоты?

Полигон частот — это один из способов графического представления статистических данных. Он представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами $(x_i, n_i)$, где $x_i$ — это варианта (значение признака), а $n_i$ — соответствующая ей абсолютная частота (сколько раз это значение встретилось). По оси абсцисс откладываются значения вариант, а по оси ординат — их абсолютные частоты. Полигон частот наглядно показывает, как распределены данные в выборке: его пики соответствуют наиболее частым значениям (моде), а спады — редким. Он позволяет визуально оценить форму распределения.

Полигон относительных частот строится аналогично полигону частот, но по оси ординат откладываются относительные частоты $W_i = \frac{n_i}{n}$. Он соединяет точки с координатами $(x_i, W_i)$. Этот график также показывает форму распределения, но его преимущество в том, что он позволяет сравнивать распределения выборок разного объема. Поскольку относительные частоты являются долями от единицы, графики для разных выборок оказываются в одном масштабе, что упрощает их сопоставление.

Ответ:

4. Как составляется таблица абсолютных и относительных частот для выборки?

Таблица абсолютных и относительных частот (также называемая частотной таблицей или статистическим рядом распределения) составляется в несколько шагов:

1. Упорядочивание (ранжирование) выборки. Все полученные данные (значения) располагают в порядке возрастания. Это не обязательный, но удобный шаг, который упрощает подсчеты.

2. Определение уникальных значений (вариант). Из упорядоченного ряда выписывают все неповторяющиеся значения. Это будут варианты $x_1, x_2, \dots, x_k$.

3. Подсчет абсолютных частот. Для каждой уникальной варианты $x_i$ считают, сколько раз она встречается в исходной выборке. Это число является ее абсолютной частотой $n_i$. Для контроля можно проверить, что сумма всех абсолютных частот равна общему объему выборки $n$: $\sum_{i=1}^{k} n_i = n$.

4. Расчет относительных частот. Для каждой варианты $x_i$ вычисляют ее относительную частоту $W_i$ по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$. Относительная частота показывает долю (часть) данной варианты в общем объеме данных. Сумма всех относительных частот всегда равна 1: $\sum_{i=1}^{k} W_i = 1$.

5. Заполнение таблицы. Результаты заносят в таблицу, которая обычно содержит три столбца: "Варианта ($x_i$)", "Абсолютная частота ($n_i$)" и "Относительная частота ($W_i$)".

Пример: Для выборки оценок {4, 5, 3, 4, 4, 5, 2, 3, 4} объемом $n=9$:

- Варианты ($x_i$): 2, 3, 4, 5.

- Абсолютные частоты ($n_i$): $n_1=1$, $n_2=2$, $n_3=4$, $n_4=2$. (Сумма: $1+2+4+2=9$)

- Относительные частоты ($W_i$): $W_1 = 1/9$, $W_2 = 2/9$, $W_3 = 4/9$, $W_4 = 2/9$. (Сумма: $1/9+2/9+4/9+2/9=9/9=1$)

Ответ:

6.1. Дан числовой ряд: 1, 3, 4, 2, 1, 1, 3, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 3, 5, 2, 1. Найдите объем выборки, варианты выборки, составьте вариационный ряд частоты и вариационный ряд относительной частоты.

Объем выборки

Объем выборки — это общее количество элементов (наблюдений) в представленном ряду. Для его нахождения необходимо посчитать все числа в ряду:

1, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 3, 5, 2, 1.

В ряду содержится 25 чисел. Таким образом, объем выборки $n = 25$.

Ответ: Объем выборки равен 25.

Варианты выборки

Варианты — это уникальные значения, которые встречаются в числовом ряду. Выпишем все уникальные числа из ряда и расположим их в порядке возрастания.

Уникальными значениями являются: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: Варианты выборки: 1, 2, 3, 4, 5.

Вариационный ряд частоты

Чтобы составить вариационный ряд частоты, нужно для каждой варианты подсчитать ее частоту — количество повторений в исходном ряду. Частота варианты $x_i$ обозначается как $n_i$.

- Для варианты 1: число "1" встречается 6 раз, следовательно, $n_1 = 6$.

- Для варианты 2: число "2" встречается 4 раза, следовательно, $n_2 = 4$.

- Для варианты 3: число "3" встречается 6 раз, следовательно, $n_3 = 6$.

- Для варианты 4: число "4" встречается 5 раз, следовательно, $n_4 = 5$.

- Для варианты 5: число "5" встречается 4 раза, следовательно, $n_5 = 4$.

Для проверки сложим все частоты: $6 + 4 + 6 + 5 + 4 = 25$, что совпадает с объемом выборки $n$.

Вариационный ряд частоты можно представить в виде таблицы:

Варианты ($x_i$): 1, 2, 3, 4, 5

Частоты ($n_i$): 6, 4, 6, 5, 4

Ответ: Вариационный ряд частоты: варианта 1 имеет частоту 6; варианта 2 - частоту 4; варианта 3 - частоту 6; варианта 4 - частоту 5; варианта 5 - частоту 4.

Вариационный ряд относительной частоты

Относительная частота $W_i$ показывает долю каждой варианты в общем объеме выборки. Она вычисляется по формуле $W_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ — частота i-й варианты, а $n$ — объем выборки.

- Для варианты 1: $W_1 = \frac{6}{25} = 0.24$

- Для варианты 2: $W_2 = \frac{4}{25} = 0.16$

- Для варианты 3: $W_3 = \frac{6}{25} = 0.24$

- Для варианты 4: $W_4 = \frac{5}{25} = 0.20$

- Для варианты 5: $W_5 = \frac{4}{25} = 0.16$

Сумма всех относительных частот должна быть равна 1: $0.24 + 0.16 + 0.24 + 0.20 + 0.16 = 1.00$.

Вариационный ряд относительной частоты:

Варианты ($x_i$): 1, 2, 3, 4, 5

Относительные частоты ($W_i$): 0.24, 0.16, 0.24, 0.20, 0.16

Ответ: Вариационный ряд относительной частоты: варианта 1 имеет относительную частоту 0.24; варианта 2 - 0.16; варианта 3 - 0.24; варианта 4 - 0.20; варианта 5 - 0.16.