Страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

17. Решите уравнение $\int_{0}^{x} 12t^2dt = 4$:

A) -1; B) 1; C) 2; D) -2.

Для решения уравнения $\int_{0}^{x} 12t^2 dt = 4$ необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(t) = 12t^2$. Используя формулу для интегрирования степенной функции, получаем:

$F(t) = \int 12t^2 dt = 12 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} = 12 \cdot \frac{t^3}{3} = 4t^3$.

Теперь, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a)$, вычислим значение интеграла:

$\int_{0}^{x} 12t^2 dt = [4t^3]_{0}^{x} = 4x^3 - 4(0)^3 = 4x^3$.

Подставим результат в исходное уравнение:

$4x^3 = 4$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$x^3 = 1$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, находим $x$:

$x = 1$.

Ответ: B) 1.

18. Решите неравенство $\int_{-2}^{x} 4dt > 0$:

A) $(-2; +\infty);

B) $(-\infty; -1] \cup [4; +\infty);

C) $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty);

D) $(-\infty; 0).

Для решения данного неравенства необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Интеграл имеет вид: $ \int_{-2}^{x} 4dt $.

Подынтегральная функция - это константа, равная 4. Найдем первообразную для этой функции по переменной $t$:

$ F(t) = 4t $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b) - F(a) $ для вычисления интеграла:

$ \int_{-2}^{x} 4dt = [4t]_{-2}^{x} = 4 \cdot x - 4 \cdot (-2) $.

Выполним вычисления:

$ 4x - (-8) = 4x + 8 $.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:

$ 4x + 8 > 0 $.

Решим это линейное неравенство относительно $x$:

Перенесем 8 в правую часть, изменив знак:

$ 4x > -8 $.

Разделим обе части неравенства на 4. Так как 4 - положительное число, знак неравенства не изменится:

$ x > \frac{-8}{4} $.

$ x > -2 $.

Решением неравенства является интервал от -2 до плюс бесконечности, не включая -2. В виде интервала это записывается как $ (-2; +\infty) $.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту А.

Ответ: А) $ (-2; +\infty) $.

19. Найдите функцию, первообразная которой равна $F(x) = 7.5x^2 - 10$:

A) $7.5x$;

B) $15x$;

C) $0$;

D) $2.5x^3 - 10x$.

По определению, функция $f(x)$ является производной от своей первообразной $F(x)$. Это означает, что для нахождения функции $f(x)$, необходимо найти производную от заданной функции $F(x)$.

В условии задачи дана первообразная функция: $F(x) = 7.5x^2 - 10$.

Найдем ее производную $f(x) = F'(x)$:

$f(x) = (7.5x^2 - 10)'$

Для нахождения производной воспользуемся правилами дифференцирования:

1. Производная разности равна разности производных: $(u - v)' = u' - v'$.

$f(x) = (7.5x^2)' - (10)'$

2. Производная степенной функции $(cx^n)' = c \cdot n \cdot x^{n-1}$ и производная константы $(C)' = 0$.

Вычислим производную первого слагаемого:

$(7.5x^2)' = 7.5 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 15x^1 = 15x$

Вычислим производную второго слагаемого, которое является константой:

$(10)' = 0$

Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $f(x)$:

$f(x) = 15x - 0 = 15x$

Таким образом, искомая функция - это $f(x) = 15x$. Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту B).

Ответ: $15x$

20. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной линиями функции $y = x^2$, $y = 0$, $x = 3$:

А) $243\pi$; B) $5,4\pi$; C) $27\pi$; D) $48,6\pi$.

Для нахождения объема тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула объема тела вращения: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$.

В данной задаче фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью $Ox$ (линия $y = 0$) и вертикальной прямой $x = 3$. Пределы интегрирования определяются границами фигуры по оси $x$. Нижний предел $a$ находится из пересечения $y = x^2$ и $y = 0$, что дает $x^2=0$, откуда $x=0$. Таким образом, $a=0$. Верхний предел задан прямой $x = 3$, то есть $b=3$.

Подставим функцию $f(x) = x^2$ и найденные пределы интегрирования в формулу: $V = \pi \int_0^3 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^3 x^4 dx$.

Для вычисления определенного интеграла найдем первообразную от функции $x^4$, которая равна $\frac{x^5}{5}$. Затем применим формулу Ньютона-Лейбница: $V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^3 = \pi \left( \frac{3^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right)$.

Вычислим значение выражения. Так как $3^5 = 243$, получаем: $V = \pi \left( \frac{243}{5} - 0 \right) = \frac{243}{5}\pi$.

Чтобы сравнить полученный результат с предложенными вариантами ответов, преобразуем обыкновенную дробь в десятичную: $\frac{243}{5} = 48.6$. Следовательно, искомый объем равен $48.6\pi$. Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $48.6\pi$.

21. Известно, что различные числа $a$ и $b$ делятся на $c$. Найдите неверный вывод:

A) $\frac{a - b + 1}{a + b}$ делится на $c$;

B) $\frac{2a - b}{a + b}$ сократимая дробь;

C) $ab$ делится на $c$;

D) $3a + 2b$ делится на $c$;

E) $ab - 2c$ делится на $c$.

По условию, различные числа $a$ и $b$ делятся на $c$. Это означает, что существуют такие целые числа $k$ и $m$, что $a = kc$ и $b = mc$, причем $k \ne m$. Проанализируем каждый из предложенных выводов.

A) $\frac{a-b+1}{a+b}$ делится на c;

Подставим $a=kc$ и $b=mc$ в данное выражение: $\frac{kc-mc+1}{kc+mc} = \frac{c(k-m)+1}{c(k+m)}$. Чтобы это выражение делилось на $c$, оно должно быть целым числом, кратным $c$. Возьмем контрпример: пусть $c=2$, $a=4$ и $b=2$. Условия выполнены: $a \ne b$, $a$ и $b$ делятся на $c$. Выражение принимает значение $\frac{4-2+1}{4+2} = \frac{3}{6} = 0.5$. Это число не является целым и, следовательно, не может делиться на 2. Таким образом, данное утверждение не всегда верно.

Ответ: Неверный вывод.

B) $\frac{2a-b}{a+b}$ сократимая дробь;

Подставим $a=kc$ и $b=mc$: $\frac{2kc-mc}{kc+mc} = \frac{c(2k-m)}{c(k+m)}$. Дробь является сократимой, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший 1. Если $|c|>1$, то $c$ является таким общим делителем, и дробь всегда сократима. Однако, если $c=1$, условие "делится на c" выполнено для любых целых $a$ и $b$. Возьмем $a=2, b=3$. Дробь равна $\frac{2(2)-3}{2+3} = \frac{1}{5}$, она несократима, так как НОД(1, 5) = 1. Следовательно, утверждение не всегда верно.

Ответ: Неверный вывод.

C) $ab$ делится на c;

Имеем $ab = (kc)(mc) = c(kmc)$. Так как $k, m, c$ — целые числа, то $kmc$ — целое число. Следовательно, произведение $ab$ является кратным $c$, то есть всегда делится на $c$.

Ответ: Верный вывод.

D) $3a+2b$ делится на c;

Имеем $3a+2b = 3(kc)+2(mc) = c(3k+2m)$. Так как $3k+2m$ — целое число, $3a+2b$ всегда делится на $c$. Это свойство линейности делимости.

Ответ: Верный вывод.

E) $ab - 2c$ делится на c.

Как показано в пункте C, произведение $ab$ делится на $c$. Число $2c$ также очевидно делится на $c$. Разность двух чисел, делящихся на $c$, всегда делится на $c$.

Ответ: Верный вывод.

Итак, выводы A и B являются неверными, в то время как C, D, E — верные. Задача требует найти один неверный вывод. Сравним выводы A и B. Утверждение B является неверным только в тривиальных случаях, когда $|c|=1$. Если же рассматривать нетривиальный делитель ($|c|>1$), что обычно подразумевается в задачах на делимость, то утверждение B всегда верно. Утверждение A, напротив, всегда неверно при $|c|>1$, так как выражение $\frac{c(k-m)+1}{c(k+m)}$ в этом случае даже не является целым числом (его числитель не делится на $c$, а знаменатель делится). Это делает вывод A фундаментально неверным. Поэтому он является искомым ответом.

Ответ: A

22. В пачке "Снежинка" 500 листов белой бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1400 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 недель:

A) 15;

B) 14;

C) 16;

D) 17;

E) 18?

1. Рассчитаем общее количество листов бумаги, необходимое на 6 недель.

Известно, что еженедельный расход бумаги в офисе составляет 1400 листов. Чтобы найти общий расход за 6 недель, необходимо умножить еженедельный расход на количество недель: $1400 \text{ листов/неделю} \times 6 \text{ недель} = 8400 \text{ листов}$

2. Рассчитаем, сколько пачек бумаги для этого потребуется.

В одной пачке бумаги «Снежинка» содержится 500 листов. Чтобы определить необходимое количество пачек, разделим общее количество требуемых листов на количество листов в одной пачке: $\frac{8400 \text{ листов}}{500 \text{ листов/пачку}} = 16.8 \text{ пачек}$

3. Определим наименьшее целое количество пачек для покупки.

Поскольку невозможно купить дробное количество пачек (0.8 пачки), а 16 пачек будет недостаточно (так как $16 \times 500 = 8000$ листов, что меньше требуемых 8400 листов), необходимо округлить полученное значение 16.8 в большую сторону до ближайшего целого числа. Следовательно, наименьшее количество пачек, которое нужно купить, — это 17. Это количество обеспечит офис $17 \times 500 = 8500$ листами, что покроет все нужды.

Ответ: 17.

23. Три апельсина и 1 груша весят столько же, сколько 10 мандарин, а 6 мандарин и 1 апельсин весят столько же, сколько 1 груша. Сколько мандаринов надо взять, чтобы уравновесить одну грушу:

$3A + G = 10M$

$6M + A = G$

A) 8;

B) 7;

C) 6;

D) 5;

E) 9?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие вес каждого вида фруктов: пусть $а$ — это вес одного апельсина, $г$ — вес одной груши, и $м$ — вес одного мандарина.

Из условий задачи можно составить систему уравнений:

1. Три апельсина и одна груша весят столько же, сколько десять мандаринов:

$3а + г = 10м$

2. Шесть мандаринов и один апельсин весят столько же, сколько одна груша:

$6м + а = г$

Решение:

Нам необходимо определить, сколько мандаринов уравновешивают одну грушу, то есть найти значение $г$ в единицах $м$.

Мы можем подставить выражение для $г$ из второго уравнения ($г = 6м + а$) в первое уравнение:

$3а + (6м + а) = 10м$

Упростим полученное уравнение, чтобы найти соотношение между весом апельсина и мандарина:

$4а + 6м = 10м$

Вычтем $6м$ из обеих частей уравнения:

$4а = 10м - 6м$

$4а = 4м$

Разделив обе части на 4, получаем, что вес одного апельсина равен весу одного мандарина:

$а = м$

Теперь, когда мы знаем это соотношение, подставим его во второе уравнение ($г = 6м + а$), чтобы выразить вес груши через вес мандарина:

$г = 6м + м$

$г = 7м$

Это означает, что одна груша весит столько же, сколько 7 мандаринов.

Ответ: 7

24. Игровой мяч сбросили с высоты 27 м и мяч подпрыгивает на $1/3$ высоты падения. Сколько метров пролетит мяч до полной остановки:

A) 44; B) 56; C) 54; D) 52; E) 60?

Решение:

Чтобы найти общее расстояние, которое пролетит мяч до полной остановки, нужно сложить расстояние первоначального падения и все последующие расстояния, которые мяч пролетает, подпрыгивая вверх и снова падая вниз.

1. Начальное падение:

Мяч бросили с высоты $h_0 = 27$ метров. Это первая часть пройденного пути.

2. Последующие отскоки:

После каждого падения мяч подпрыгивает на высоту, равную одной трети ($\frac{1}{3}$) от высоты, с которой он упал. Затем он падает обратно с этой новой высоты.

- Высота первого подъема: $h_1 = 27 \times \frac{1}{3} = 9$ м. Расстояние, пройденное на первом отскоке (вверх и вниз), составляет $2 \times 9 = 18$ м.

- Высота второго подъема: $h_2 = 9 \times \frac{1}{3} = 3$ м. Расстояние, пройденное на втором отскоке, составляет $2 \times 3 = 6$ м.

- Высота третьего подъема: $h_3 = 3 \times \frac{1}{3} = 1$ м. Расстояние, пройденное на третьем отскоке, составляет $2 \times 1 = 2$ м.

Этот процесс продолжается бесконечно.

3. Расчет общего расстояния:

Общее расстояние $S$ — это сумма начального падения и всех последующих отскоков:

$S = 27 + (18 + 6 + 2 + ...)$

Слагаемые в скобках образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, так как каждый следующий член меньше предыдущего в одно и то же число раз.

- Первый член прогрессии $b_1 = 18$.

- Знаменатель прогрессии $q = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии ($S_{прогр}$) вычисляется по формуле:

$S_{прогр} = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения:

$S_{прогр} = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \times \frac{3}{2} = 27$ м.

Это сумма всех расстояний, пройденных мячом после первого падения. Теперь добавим к этому значению начальную высоту падения, чтобы найти общее расстояние:

$S_{общ} = 27 \text{ м (начальное падение)} + 27 \text{ м (все отскоки)} = 54$ м.

Таким образом, мяч до полной остановки пролетит 54 метра. Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: 54

25. Сколько равных прямоугольников, длиной 4 см и шириной 3 см, можно получить из квадрата со стороной 6 см при условии, что квадрат можно разбивать на части и затем складывать?

A) 2;

B) 4;

C) 6;

D) 3;

E) 5?

Для решения этой задачи необходимо сравнить площади исходной фигуры (квадрата) и итоговых фигур (прямоугольников). Условие, что квадрат можно разбивать на части и затем складывать, означает, что мы должны исходить из закона сохранения площади: общая площадь всех полученных фигур должна быть равна площади исходной фигуры.

1. Вычисление площади квадрата.Сторона квадрата равна 6 см. Площадь квадрата ($S_{квадрата}$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – сторона квадрата. Расчет будет следующим:$S_{квадрата} = 6 \text{ см} \times 6 \text{ см} = 36 \text{ см}^2$.

2. Вычисление площади одного прямоугольника.Длина прямоугольника равна 4 см, а ширина – 3 см. Площадь прямоугольника ($S_{прямоугольника}$) вычисляется по формуле $S = l \times w$, где $l$ – длина, а $w$ – ширина. Расчет будет следующим:$S_{прямоугольника} = 4 \text{ см} \times 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

3. Определение максимального количества прямоугольников.Чтобы найти, сколько прямоугольников можно получить, нужно разделить общую площадь квадрата на площадь одного прямоугольника.Количество прямоугольников $N = \frac{S_{квадрата}}{S_{прямоугольника}} = \frac{36 \text{ см}^2}{12 \text{ см}^2} = 3$.

Таким образом, из квадрата со стороной 6 см можно получить ровно 3 прямоугольника размером 4х3 см.

Ответ: 3;