gdz.top
Номер 5.14, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский
Авторы: Абылкасымова А. Е., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Цвет обложки:
Популярные ГДЗ в 11 классе
Глава I. Первообразная и интеграл. Параграф 5. Применение определенного интеграла при решении геометрических и физических задач - номер 5.14, страница 48.
№5.13
№5.14 (с. 48)
Условие. №5.14 (с. 48)
5.14. Найдите объем фигуры вращения гиперболы $y = \frac{1}{x}$ от $x = 1$ до $x = 3$ вокруг оси абсцисс.
Решение 2 (rus). №5.14 (с. 48)
Для нахождения объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции (фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$) вокруг оси абсцисс, используется формула:
$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$
В условиях задачи задана функция $y = \frac{1}{x}$, которая является ветвью гиперболы. Фигура вращения образуется на отрезке от $x = 1$ до $x = 3$.
Таким образом, имеем:
$f(x) = \frac{1}{x}$
$a = 1$
$b = 3$
Подставим эти значения в формулу для объема:
$V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx$
Вычислим полученный определенный интеграл. Сначала упростим подынтегральное выражение:
$V = \pi \int_{1}^{3} \frac{1}{x^2} dx = \pi \int_{1}^{3} x^{-2} dx$
Теперь найдем первообразную для функции $x^{-2}$ по стандартной формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$:
$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$
Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$V = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = \pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right)$
Выполним финальные вычисления:
$V = \pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = \pi \left( \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \right) = \pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\pi}{3}$
Ответ: $\frac{2\pi}{3}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.14 расположенного на странице 48 к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.14 (с. 48), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), учебного пособия издательства Мектеп.