Номер 5.6, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.6. Постройте фигуру, ограниченную линиями:

1) $y = \sin x, y = x + 1, x = 0, x = 2$ и вычислите ее площадь, учитывая $\cos 2 \approx -0,41$;

2) $y = \cos x, y = 3 - x, x = 0, x = -1$ и вычислите ее площадь, учитывая $\sin 1 \approx 0,84$.

1) Фигура ограничена графиками функций $y = \sin x$ (синусоида), $y = x + 1$ (прямая), и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=2$. Для вычисления площади искомой фигуры необходимо найти определенный интеграл разности функций, которые ограничивают фигуру сверху и снизу. Сравним функции $f(x) = x+1$ и $g(x) = \sin x$ на интервале $[0, 2]$. Рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x) = x + 1 - \sin x$. Найдем производную этой разности: $h'(x) = (x + 1 - \sin x)' = 1 - \cos x$. Поскольку значение $\cos x$ никогда не превышает 1, производная $h'(x) \geq 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является неубывающей. В точке $x=0$ значение разности равно $h(0) = 0 + 1 - \sin 0 = 1 > 0$. Так как функция $h(x)$ неубывающая и в начальной точке интервала положительна, то $h(x) > 0$ на всем интервале $[0, 2]$. Следовательно, график функции $y = x+1$ лежит выше графика $y = \sin x$ на данном интервале. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$ В нашем случае $a=0$, $b=2$, $f(x) = x+1$, $g(x) = \sin x$. $S = \int_{0}^{2} (x + 1 - \sin x) dx$ Вычисляем интеграл: $S = \left( \frac{x^2}{2} + x - (-\cos x) \right) \Big|_0^2 = \left( \frac{x^2}{2} + x + \cos x \right) \Big|_0^2$ Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \left( \frac{2^2}{2} + 2 + \cos 2 \right) - \left( \frac{0^2}{2} + 0 + \cos 0 \right)$ $S = \left( \frac{4}{2} + 2 + \cos 2 \right) - (0 + 0 + 1) = (2 + 2 + \cos 2) - 1 = 3 + \cos 2$ Используя данное в условии приближение $\cos 2 \approx -0,41$, получаем: $S \approx 3 + (-0,41) = 2,59$.

Ответ: $S = 3 + \cos 2 \approx 2,59$.

2) Фигура ограничена графиками функций $y = \cos x$ (косинусоида), $y = 3 - x$ (прямая), и вертикальными прямыми $x=0$ и $x=-1$. Интервал интегрирования от $a=-1$ до $b=0$. Сравним функции $f(x) = 3-x$ и $g(x) = \cos x$ на интервале $[-1, 0]$. Рассмотрим их разность $h(x) = f(x) - g(x) = 3 - x - \cos x$. Найдем производную этой разности: $h'(x) = (3 - x - \cos x)' = -1 - (-\sin x) = \sin x - 1$. Поскольку значение $\sin x$ никогда не превышает 1, производная $h'(x) \leq 0$ для всех $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является невозрастающей. Найдем значение $h(x)$ в правой точке интервала, $x=0$: $h(0) = 3 - 0 - \cos 0 = 3 - 1 = 2$. Так как функция $h(x)$ невозрастающая, ее наименьшее значение на интервале $[-1, 0]$ равно $h(0) = 2$. Следовательно, $h(x) > 0$ на всем интервале $[-1, 0]$, и график функции $y=3-x$ лежит выше графика $y=\cos x$. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{-1}^{0} ((3-x) - \cos x) dx$ Вычисляем интеграл: $S = \left( 3x - \frac{x^2}{2} - \sin x \right) \Big|_{-1}^0$ Подставляем пределы интегрирования: $S = \left( 3 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} - \sin 0 \right) - \left( 3 \cdot (-1) - \frac{(-1)^2}{2} - \sin(-1) \right)$ Так как $\sin(-1) = -\sin 1$, получаем: $S = (0 - 0 - 0) - \left( -3 - \frac{1}{2} - (-\sin 1) \right) = 0 - \left( -3,5 + \sin 1 \right) = 3,5 - \sin 1$ Используя данное в условии приближение $\sin 1 \approx 0,84$, получаем: $S \approx 3,5 - 0,84 = 2,66$.

Ответ: $S = 3,5 - \sin 1 \approx 2,66$.