Номер 5.3, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

5.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями:

1) $y = x^2 - 4x + 4, y = 0, x = 0;$

2) $y = x^2 + 6x + 9, y = 0, x = 0;$

3) $y = 4x^2 + 12x + 9, y = 0, x = 0;$

4) $y = 9x^2 - 6x + 1, y = 0, x = 0.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 4x + 4$, $y=0$ и $x=0$, необходимо вычислить определенный интеграл. Сначала найдем пределы интегрирования. Одна граница задана прямой $x=0$. Другую границу найдем из пересечения параболы $y = x^2 - 4x + 4$ с осью абсцисс ($y=0$). Уравнение $x^2 - 4x + 4 = 0$ является полным квадратом $(x-2)^2 = 0$, откуда корень $x=2$. Следовательно, интегрирование будет производиться по отрезку $[0, 2]$. Так как функция $y = (x-2)^2 \ge 0$ на всем отрезке, площадь $S$ равна интегралу: $S = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2)) - 0 = \frac{8}{3} - 8 + 8 = \frac{8}{3}$.Ответ: $\frac{8}{3}$.

2) Фигура ограничена линиями $y = x^2 + 6x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Найдем пределы интегрирования. Одна граница - $x=0$. Точку пересечения параболы с осью $y=0$ найдем из уравнения $x^2 + 6x + 9 = 0$, или $(x+3)^2 = 0$, откуда $x=-3$. Интегрирование проводится по отрезку $[-3, 0]$. Функция $y=(x+3)^2 \ge 0$ на этом отрезке. Площадь $S$ равна $S = \int_{-3}^{0} (x^2 + 6x + 9) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{x^3}{3} + 3x^2 + 9x \right]_{-3}^{0} = 0 - (\frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 + 9(-3)) = -(\frac{-27}{3} + 27 - 27) = -(-9) = 9$.Ответ: 9.

3) Фигура ограничена линиями $y = 4x^2 + 12x + 9$, $y=0$ и $x=0$. Найдем пределы интегрирования. Одна граница - $x=0$. Точку пересечения параболы с осью $y=0$ найдем из уравнения $4x^2 + 12x + 9 = 0$, или $(2x+3)^2 = 0$, откуда $x=-\frac{3}{2}$. Интегрирование проводится по отрезку $[-\frac{3}{2}, 0]$. Функция $y=(2x+3)^2 \ge 0$ на этом отрезке. Площадь $S$ равна $S = \int_{-3/2}^{0} (4x^2 + 12x + 9) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ \frac{4x^3}{3} + 6x^2 + 9x \right]_{-3/2}^{0} = 0 - (\frac{4}{3}(-\frac{3}{2})^3 + 6(-\frac{3}{2})^2 + 9(-\frac{3}{2})) = -(\frac{4}{3}(-\frac{27}{8}) + 6(\frac{9}{4}) - \frac{27}{2}) = -(-\frac{9}{2} + \frac{27}{2} - \frac{27}{2}) = \frac{9}{2}$.Ответ: $\frac{9}{2}$.

4) Фигура ограничена линиями $y = 9x^2 - 6x + 1$, $y=0$ и $x=0$. Найдем пределы интегрирования. Одна граница - $x=0$. Точку пересечения параболы с осью $y=0$ найдем из уравнения $9x^2 - 6x + 1 = 0$, или $(3x-1)^2 = 0$, откуда $x=\frac{1}{3}$. Интегрирование проводится по отрезку $[0, \frac{1}{3}]$. Функция $y=(3x-1)^2 \ge 0$ на этом отрезке. Площадь $S$ равна $S = \int_{0}^{1/3} (9x^2 - 6x + 1) \,dx$. Вычисляем интеграл: $S = \left[ 3x^3 - 3x^2 + x \right]_{0}^{1/3} = (3(\frac{1}{3})^3 - 3(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3}) - 0 = 3(\frac{1}{27}) - 3(\frac{1}{9}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.Ответ: $\frac{1}{9}$.