Номер 4.18, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.18. Дана функция $f(x)$. Найдите $f'(x)$.

1) $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 4 & \text{при } x > 3, \\ -x^2 + 2 & \text{при } x < 3; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 5x - x^2 & \text{при } x > 2, \\ -\sqrt{2 - x} & \text{при } x < 2. \end{cases}$

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 4 & \text{при } x > 3, \\ -x^2 + 2 & \text{при } x < 3. \end{cases}$

Чтобы найти производную $f'(x)$, мы должны продифференцировать каждую часть функции отдельно.

При $x > 3$, функция задана как $f(x) = 2x^2 - 4$.

Ее производная находится по правилам дифференцирования степенной функции и константы:

$f'(x) = (2x^2 - 4)' = (2x^2)' - (4)' = 2 \cdot 2x - 0 = 4x$.

При $x < 3$, функция задана как $f(x) = -x^2 + 2$.

Ее производная:

$f'(x) = (-x^2 + 2)' = (-x^2)' + (2)' = -2x + 0 = -2x$.

Теперь нужно проверить, существует ли производная в точке $x = 3$. Для существования производной в точке функция должна быть в ней непрерывна. Проверим непрерывность, вычислив односторонние пределы:

Предел слева: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (-x^2 + 2) = -(3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$.

Предел справа: $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (2x^2 - 4) = 2(3)^2 - 4 = 2 \cdot 9 - 4 = 18 - 4 = 14$.

Поскольку левый и правый пределы в точке $x=3$ не равны ($-7 \neq 14$), функция $f(x)$ имеет разрыв в этой точке и, следовательно, не является дифференцируемой в точке $x=3$.

Таким образом, производная $f'(x)$ существует для всех $x \neq 3$.

Ответ: $f'(x) = \begin{cases} 4x & \text{при } x > 3, \\ -2x & \text{при } x < 3. \end{cases}$

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} 5x - x^2 & \text{при } x > 2, \\ -\sqrt{2-x} & \text{при } x < 2. \end{cases}$

Найдем производную для каждой части функции.

При $x > 2$, функция задана как $f(x) = 5x - x^2$.

Ее производная:

$f'(x) = (5x - x^2)' = (5x)' - (x^2)' = 5 - 2x$.

При $x < 2$, функция задана как $f(x) = -\sqrt{2-x}$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Запишем функцию как $f(x) = -(2-x)^{1/2}$.

$f'(x) = (-(2-x)^{1/2})' = -\frac{1}{2}(2-x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2-x)' = -\frac{1}{2}(2-x)^{-1/2} \cdot (-1) = \frac{1}{2\sqrt{2-x}}$.

Проверим дифференцируемость в точке $x = 2$. Сначала проверим непрерывность, вычислив односторонние пределы:

Предел слева: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-\sqrt{2-x}) = -\sqrt{2-2} = 0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (5x - x^2) = 5(2) - (2)^2 = 10 - 4 = 6$.

Поскольку левый и правый пределы в точке $x=2$ не равны ($0 \neq 6$), функция $f(x)$ имеет разрыв в этой точке, а значит не является дифференцируемой в точке $x=2$.

Таким образом, производная $f'(x)$ существует для всех $x < 2$ и $x > 2$.

Ответ: $f'(x) = \begin{cases} 5 - 2x & \text{при } x > 2, \\ \frac{1}{2\sqrt{2-x}} & \text{при } x < 2. \end{cases}$