Номер 4.12, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите интегралы (4.12–4.14):

4.12. 1) $\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\cos(3x)dx;$

2) $\int_0^{\pi/2} \sin(4x)\sin(5x)dx;$

3) $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x dx}{1 - \sqrt{2} \cos \frac{x}{2}};$

4) $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x dx}{2\sin x + 1}.$

4.12. 1) Для вычисления интеграла $\int_0^\pi \sin(2x)\cos(3x)dx$ воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$. Применяя эту формулу, получаем: $\sin(2x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin x)$. Тогда интеграл принимает вид: $\int_0^\pi \frac{1}{2}(\sin(5x) - \sin x)dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi (\sin(5x) - \sin x)dx = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{5}\cos(5x) + \cos x\right]_0^\pi$. Подставляя пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница, имеем: $\frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{5}\cos(5\pi) + \cos\pi\right) - \left(-\frac{1}{5}\cos(0) + \cos 0\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(-\frac{1}{5}(-1) + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{5}(1) + 1\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(\frac{1}{5} - 1\right) - \left(-\frac{1}{5} + 1\right) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{4}{5} - \frac{4}{5} \right) = \frac{1}{2} \left(-\frac{8}{5}\right) = -\frac{4}{5}$. Ответ: $-\frac{4}{5}$

2) Для вычисления интеграла $\int_0^{\pi/2} \sin(4x)\sin(5x)dx$ применим формулу произведения синусов: $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$. В нашем случае $\alpha = 4x$ и $\beta = 5x$. Тогда подынтегральное выражение равно: $\sin(4x)\sin(5x) = \frac{1}{2}(\cos(4x-5x) - \cos(4x+5x)) = \frac{1}{2}(\cos(-x) - \cos(9x)) = \frac{1}{2}(\cos x - \cos(9x))$. Вычисляем интеграл: $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{2}(\cos x - \cos(9x))dx = \frac{1}{2} \left[\sin x - \frac{1}{9}\sin(9x)\right]_0^{\pi/2}$. Подставляем пределы: $\frac{1}{2} \left( \left(\sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{9}\sin\frac{9\pi}{2}\right) - \left(\sin 0 - \frac{1}{9}\sin 0\right) \right) = \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{1}{9}(1)\right) - (0 - 0) \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{9} = \frac{4}{9}$. Ответ: $\frac{4}{9}$

3) Рассмотрим интеграл $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{1 - \sqrt{2}\cos\frac{x}{2}} dx$. Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$. Тогда интеграл принимает вид: $\int_0^{\pi/2} \frac{2\cos^2\frac{x}{2} - 1}{1 - \sqrt{2}\cos\frac{x}{2}} dx$. Разложим числитель на множители как разность квадратов: $2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = (\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)$. После подстановки и сокращения дроби получаем: $\int_0^{\pi/2} \frac{(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1)}{-(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} - 1)} dx = \int_0^{\pi/2} -(\sqrt{2}\cos\frac{x}{2} + 1) dx$. Вычисляем полученный интеграл: $-\left[\sqrt{2}\cdot 2\sin\frac{x}{2} + x\right]_0^{\pi/2} = -\left[2\sqrt{2}\sin\frac{x}{2} + x\right]_0^{\pi/2}$. Подставляем пределы интегрирования: $-\left( \left(2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) - (2\sqrt{2}\sin 0 + 0) \right) = -\left( \left(2\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{2}\right) - 0 \right) = -\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) = -2 - \frac{\pi}{2}$. Подынтегральная функция имеет устранимый разрыв в точке $x=\pi/2$, поэтому вычисление определенного интеграла корректно. Ответ: $-2 - \frac{\pi}{2}$

4) Для вычисления интеграла $\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{2\sin x + 1} dx$ используем метод замены переменной. Пусть $u = 2\sin x + 1$. Тогда дифференциал $du = (2\sin x + 1)'dx = 2\cos x dx$, откуда $\cos x dx = \frac{1}{2}du$. Найдем новые пределы интегрирования. Если $x=0$, то $u = 2\sin 0 + 1 = 1$. Если $x=\pi/2$, то $u = 2\sin\frac{\pi}{2} + 1 = 2(1) + 1 = 3$. Теперь подставим все в интеграл: $\int_1^3 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int_1^3 \frac{du}{u}$. Этот интеграл является табличным: $\frac{1}{2} \left[\ln|u|\right]_1^3 = \frac{1}{2}(\ln 3 - \ln 1) = \frac{1}{2}(\ln 3 - 0) = \frac{1}{2}\ln 3$. Ответ: $\frac{1}{2}\ln 3$