Номер 4.8, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции (4.8—4.9):

4.8. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - 2\cos^2x)dx;$

2) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (2\sin2x - 1)dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \operatorname{tg}x \operatorname{ctg}x)dx;$

4) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{tg}\frac{x}{5} \operatorname{ctg}\frac{x}{5} - \cos x)dx.$

4.8. 1) Для вычисления интеграла $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - 2\cos^2x)dx$ преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$. Отсюда следует, что $1 - 2\cos^2x = -(2\cos^2x - 1) = -\cos(2x)$.

Интеграл принимает вид:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} (-\cos(2x))dx = [-\frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}}$

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[-\frac{1}{2}\sin(2x)]_0^{\frac{\pi}{4}} = (-\frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{4})) - (-\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 0)) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}) - (-\frac{1}{2}\sin(0)) = -\frac{1}{2} \cdot 1 - 0 = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (2\sin(2x) - 1)dx$.

Найдем первообразную подынтегральной функции:

$\int (2\sin(2x) - 1)dx = 2 \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) - x = -\cos(2x) - x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$[-\cos(2x) - x]_0^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos(2 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}) - (-\cos(2 \cdot 0) - 0) = -\cos(\frac{2\pi}{3}) - \frac{\pi}{3} - (-\cos(0))$.

Так как $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$ и $\cos(0) = 1$, получаем:

$-(-\frac{1}{2}) - \frac{\pi}{3} - (-1) = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{3} + 1 = \frac{3}{2} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{3}{2} - \frac{\pi}{3}$

3) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + \tan x \cot x)dx$ преобразуем подынтегральную функцию. Так как $\tan x \cot x = 1$ для всех $x$ в области определения, а на интервале $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}]$ обе функции определены, то подынтегральная функция равна $\sin x + 1$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (\sin x + 1)dx = [-\cos x + x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$(-\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4}) - (-\cos(\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}) = (-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$.

Сгруппируем слагаемые:

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + (\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{12}$

4) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\tan \frac{x}{5} \cot \frac{x}{5} - \cos x)dx$ преобразуем подынтегральную функцию. Произведение $\tan \frac{x}{5} \cot \frac{x}{5} = 1$ на интервале интегрирования $[\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}]$, так как аргумент $\frac{x}{5}$ находится в интервале $[\frac{\pi}{15}, \frac{\pi}{10}]$, где тангенс и котангенс определены. Таким образом, подынтегральная функция равна $1 - \cos x$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos x)dx = [x - \sin x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$(\frac{\pi}{2} - \sin(\frac{\pi}{2})) - (\frac{\pi}{3} - \sin(\frac{\pi}{3})) = (\frac{\pi}{2} - 1) - (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{2} - 1 - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сгруппируем слагаемые:

$(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{3\pi - 2\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$.

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1$