Номер 4.4, страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Корчевский

4.4. 1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} (\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x)dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{16}} (\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x)dx;$

3) $\int_{0.3}^{1.5} (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2})dx;$

4) $\int_{-2}^{-1} (x - \frac{4}{x^2})dx.$

1) Чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$. В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = 2x$.

Подынтегральное выражение $\cos x \cos 2x - \sin x \sin 2x$ равно $\cos(x + 2x) = \cos(3x)$.

Таким образом, интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \cos(3x) dx $

Первообразная для функции $\cos(3x)$ равна $\frac{1}{3}\sin(3x)$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{1}{3}\sin(3x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{18}} = \frac{1}{3}\sin(3 \cdot \frac{\pi}{18}) - \frac{1}{3}\sin(3 \cdot 0) = \frac{1}{3}\sin(\frac{\pi}{6}) - \frac{1}{3}\sin(0) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{6} $.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для решения этого интеграла применим тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$. В данном случае $\alpha = x$ и $\beta = 3x$.

Подынтегральное выражение $\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x$ равно $\sin(x + 3x) = \sin(4x)$.

Интеграл преобразуется к виду:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{16}} \sin(4x) dx $

Первообразная для функции $\sin(4x)$ равна $-\frac{1}{4}\cos(4x)$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$ \left[ -\frac{1}{4}\cos(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{16}} = \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot \frac{\pi}{16})\right) - \left(-\frac{1}{4}\cos(4 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{4}\cos(\frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4}\cos(0) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2 - \sqrt{2}}{8} $.

Ответ: $\frac{2 - \sqrt{2}}{8}$.

3) Для вычисления интеграла найдем первообразную для подынтегральной функции $\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}$.

$ \int (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}) dx = \int (\frac{1}{2} + 3x^{-2}) dx = \frac{1}{2}x + 3\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{2}x - \frac{3}{x} + C $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0.3}^{1.5} (\frac{1}{2} + \frac{3}{x^2}) dx = \left[ \frac{1}{2}x - \frac{3}{x} \right]_{0.3}^{1.5} = (\frac{1}{2} \cdot 1.5 - \frac{3}{1.5}) - (\frac{1}{2} \cdot 0.3 - \frac{3}{0.3}) = (0.75 - 2) - (0.15 - 10) = -1.25 - (-9.85) = -1.25 + 9.85 = 8.6 $.

Ответ: $8.6$.

4) Найдем первообразную для подынтегральной функции $x - \frac{4}{x^2}$.

$ \int (x - \frac{4}{x^2}) dx = \int (x - 4x^{-2}) dx = \frac{x^2}{2} - 4\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x} + C $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$ \int_{-2}^{-1} (x - \frac{4}{x^2}) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{4}{x} \right]_{-2}^{-1} = \left(\frac{(-1)^2}{2} + \frac{4}{-1}\right) - \left(\frac{(-2)^2}{2} + \frac{4}{-2}\right) = (\frac{1}{2} - 4) - (\frac{4}{2} - 2) = (-\frac{7}{2}) - (2 - 2) = -\frac{7}{2} - 0 = -\frac{7}{2} $.

Ответ: $-\frac{7}{2}$.